Tentukan nilai limit dari tiap fungsi berikut.a. lim x

Nilai limit adalah 12/5 untuk fungsi a dan 1/4 untuk fungsi b.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi:

a. lim x menuju 2 (x^3 - 8)/(x^2 + x - 6)
Substitusikan x = 2 ke dalam fungsi:
Pembilang: 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0
Penyebut: 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
Karena hasilnya 0/0, gunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi.

Metode Faktorisasi:
(x^3 - 8) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
(x^2 + x - 6) = (x + 3)(x - 2)

Maka limitnya menjadi:
lim x menuju 2 [(x - 2)(x^2 + 2x + 4)] / [(x + 3)(x - 2)]
= lim x menuju 2 (x^2 + 2x + 4) / (x + 3)
Substitusikan x = 2:
= (2^2 + 2*2 + 4) / (2 + 3)
= (4 + 4 + 4) / 5
= 12 / 5

b. lim x menuju 1 (1 - akar(x))/(1 - x^2)
Substitusikan x = 1 ke dalam fungsi:
Pembilang: 1 - akar(1) = 1 - 1 = 0
Penyebut: 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0
Karena hasilnya 0/0, gunakan aturan L'Hopital atau kalikan dengan konjugat.

Metode Konjugat:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang (1 + akar(x)):
= [(1 - akar(x)) / (1 - x^2)] * [(1 + akar(x)) / (1 + akar(x))]
= (1 - x) / [(1 - x^2)(1 + akar(x))]

Gunakan faktorisasi selisih kuadrat pada penyebut (1 - x^2) = (1 - x)(1 + x):
= (1 - x) / [(1 - x)(1 + x)(1 + akar(x))]

Sederhanakan dengan membatalkan (1 - x):
= 1 / [(1 + x)(1 + akar(x))]

Substitusikan x = 1:
= 1 / [(1 + 1)(1 + akar(1))]
= 1 / [2 * (1 + 1)]
= 1 / (2 * 2)
= 1 / 4

Jawaban Ringkas: a. 12/5, b. 1/4