Tentukan nilai limit untuk setiap fungsi berikut. limit

Nilai limit adalah 3/8.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 3x}{1 - \cos 4x}\), kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan limit dasar. Ketika kita substitusi x = 0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (karena sin(0) = 0 dan 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0).

Kita tahu dua limit dasar yang berguna di sini:
1.  \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\)
2.  \(\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}\)

Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk limit dasar ini. Pertama, mari kita fokus pada penyebut \(1 - \cos 4x\). Kita ingin mengaitkannya dengan \(\theta^2\), jadi kita akan menggunakan \((4x)^2 = 16x^2\).

Kita bisa menulis ulang penyebut sebagai:
\(1 - \cos 4x = (1 - \cos 4x) \times \frac{(4x)^2}{(4x)^2} = \frac{1 - \cos 4x}{(4x)^2} \times 16x^2\)

Kemudian, untuk pembilang \(x \sin 3x\), kita ingin mengaitkannya dengan \(\frac{\sin \theta}{\theta}\), jadi kita akan menggunakan \(3x\).

Kita bisa menulis ulang pembilang sebagai:
\(x \sin 3x = x \times \frac{\sin 3x}{3x} \times 3x = 3x^2 \times \frac{\sin 3x}{3x}\)

Sekarang, gabungkan kembali ekspresi limit:

\(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 3x}{1 - \cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 \times \frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{1 - \cos 4x}{(4x)^2} \times 16x^2}\)

Kita bisa membatalkan \(x^2\) dari pembilang dan penyebut:

\(\lim_{x \to 0} \frac{3 \times \frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{1 - \cos 4x}{(4x)^2} \times 16}\)

Sekarang, gunakan sifat limit perkalian dan pembagian:

\(= \frac{3}{\left(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{(4x)^2}\right) \times 16} \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\right)\)

Gunakan substitusi \(\theta = 4x\) untuk limit kosinus (ketika x -> 0, maka \(\theta\) -> 0) dan \(\phi = 3x\) untuk limit sinus (ketika x -> 0, maka \(\phi\) -> 0).

\(= \frac{3}{\left(\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}\right) \times 16} \times \left(\lim_{\phi \to 0} \frac{\sin \phi}{\phi}\right)\)

Gunakan nilai limit dasar:
\(= \frac{3}{\left(\frac{1}{2}\right) \times 16} \times (1)\)

\(= \frac{3}{\frac{16}{2}} \times 1\)

\(= \frac{3}{8} \times 1\)

\(= \frac{3}{8}\)

**Jawaban Ringkas:**
Nilai limitnya adalah 3/8.