Tentukan nilai trigonometri berikut. (2 sin 15 sin 22,5 cos

Nilai trigonometri dari ekspresi tersebut adalah $\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai trigonometri dari $\frac{(2 \sin 15^{\circ} \sin 22,5^{\circ} \cos 22,5^{\circ})}{(\cos 15^{\circ}(1-\tan^2 15^{\circ}))}$, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri:

1. Gunakan identitas $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$. Maka, $\sin 45^{\circ} = 2 \sin 22,5^{\circ} \cos 22,5^{\circ}$.
2. Gunakan identitas $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$, sehingga $1-\tan^2 \theta = \cos 2\theta (1+\tan^2 \theta)$. Namun, bentuk yang lebih berguna di sini adalah $\frac{1}{\cos 2\theta} = \frac{1+\tan^2 \theta}{1} = 1+\tan^2 \theta$. Atau, kita bisa menggunakan identitas $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, sehingga $1-\tan^2 15^{\circ} = 1 - \frac{\sin^2 15^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ}} = \frac{\cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ}} = \frac{\cos (2 \times 15^{\circ})}{\cos^2 15^{\circ}} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ}}$.

Mari kita substitusikan:

$\frac{(2 \sin 15^{\circ} (2 \sin 22,5^{\circ} \cos 22,5^{\circ}) / 2)}{(\cos 15^{\circ}(1-\tan^2 15^{\circ}))}$

$\frac{(2 \sin 15^{\circ} \sin 45^{\circ} / 2)}{(\cos 15^{\circ}(\frac{\cos 30^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ}}))}$

$\frac{(\sin 15^{\circ} \sin 45^{\circ})}{(\frac{\cos 15^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ}})}$

$\frac{(\sin 15^{\circ} \sin 45^{\circ})}{(\frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 15^{\circ}})}$

$\frac{(\sin 15^{\circ} \sin 45^{\circ} \cos 15^{\circ})}{(\cos 30^{\circ})}$

Kita tahu $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan $\cos 30^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Kita juga bisa menggunakan identitas $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$. Maka, $\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin (2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Substitusikan kembali:

$\frac{(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\sqrt{2})}{(\frac{1}{2}\sqrt{3})}$

$\frac{(\frac{1}{8}\sqrt{2})}{(\frac{1}{2}\sqrt{3})}$

$\frac{\sqrt{2}}{8} \times \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Jadi, nilai trigonometri dari ekspresi tersebut adalah $\frac{\sqrt{6}}{12}$