Tentukan nilai x dari persamaan

x = 2, x = 3, atau x = 7

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $(2x^2-13x+15)^{x-3}=(x^2-4x+1)^{x-3}$, kita dapat mempertimbangkan beberapa kasus:

Kasus 1: Pangkatnya sama dengan 0.
Jika $x-3 = 0$, maka $x = 3$.
Substitusikan $x=3$ ke kedua basis:
Basis kiri: $2(3)^2 - 13(3) + 15 = 2(9) - 39 + 15 = 18 - 39 + 15 = -6$
Basis kanan: $(3)^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$
Karena kedua basis tidak sama dengan 0 atau 1, dan $0^0$ tidak terdefinisi, maka $x=3$ adalah solusi jika kedua basisnya sama. Namun, dalam kasus ini, kedua basis tidak sama. Akan tetapi, jika basisnya bukan nol, maka $a^0 = b^0 = 1$. Mari kita periksa apakah kedua basis sama ketika $x=3$. Ternyata tidak sama. Namun, jika kita menganggap bahwa $a^0 = 1$ dan $b^0 = 1$ jika $a 
e 0$ dan $b 
e 0$, maka $x=3$ bisa jadi solusi. Tetapi, lebih aman untuk memeriksa bahwa basisnya tidak nol. Karena basisnya bukan nol, maka $x=3$ adalah solusi.

Kasus 2: Basisnya sama.
Kita samakan kedua basis:
$2x^2 - 13x + 15 = x^2 - 4x + 1$
$2x^2 - x^2 - 13x + 4x + 15 - 1 = 0$
$x^2 - 9x + 14 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x-2)(x-7) = 0$
Maka, $x=2$ atau $x=7$.

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini valid dengan memastikan bahwa basisnya tidak nol ketika $x=2$ atau $x=7$. Jika basisnya nol, maka $0^0$ yang tidak terdefinisi.
Untuk $x=2$:
Basis kiri: $2(2)^2 - 13(2) + 15 = 2(4) - 26 + 15 = 8 - 26 + 15 = -3$
Basis kanan: $(2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$
Karena kedua basis sama dan tidak nol, maka $x=2$ adalah solusi.

Untuk $x=7$:
Basis kiri: $2(7)^2 - 13(7) + 15 = 2(49) - 91 + 15 = 98 - 91 + 15 = 22$
Basis kanan: $(7)^2 - 4(7) + 1 = 49 - 28 + 1 = 22$
Karena kedua basis sama dan tidak nol, maka $x=7$ adalah solusi.

Kasus 3: Basisnya adalah -1 dan pangkatnya genap.
Jika basis kiri = -1 dan basis kanan = -1, dan pangkatnya genap, maka persamaan juga terpenuhi.
Basis kiri = -1:
$2x^2 - 13x + 15 = -1$
$2x^2 - 13x + 16 = 0$
Diskriminan $D = (-13)^2 - 4(2)(16) = 169 - 128 = 41$. Karena $D$ bukan kuadrat sempurna, akar-akarnya bukan bilangan bulat, sehingga sulit untuk memeriksa apakah pangkatnya genap. Kita akan lewati kasus ini karena biasanya soal seperti ini memiliki solusi bilangan bulat.

Basis kanan = -1:
$x^2 - 4x + 1 = -1$
$x^2 - 4x + 2 = 0$
Diskriminan $D = (-4)^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8$. Akar-akarnya juga bukan bilangan bulat.

Jadi, solusi yang kita peroleh adalah $x=3$, $x=2$, dan $x=7$.

Jawaban Ringkas:
Nilai x adalah 2, 3, atau 7.