Tentukan persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik

Persamaan lingkaran: (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 50. Pusat: (5, 2). Jari-jari: 5√2.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik, kita dapat menggunakan bentuk umum persamaan lingkaran: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jarinya. Atau kita bisa menggunakan bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.

Kita akan menggunakan bentuk kedua karena lebih mudah disubstitusikan.

Substitusikan titik pertama (-2,3):
(-2)^2 + (3)^2 + A(-2) + B(3) + C = 0
4 + 9 - 2A + 3B + C = 0
13 - 2A + 3B + C = 0  ...(1)

Substitusikan titik kedua (6,-5):
(6)^2 + (-5)^2 + A(6) + B(-5) + C = 0
36 + 25 + 6A - 5B + C = 0
61 + 6A - 5B + C = 0  ...(2)

Substitusikan titik ketiga (0,7):
(0)^2 + (7)^2 + A(0) + B(7) + C = 0
0 + 49 + 0 + 7B + C = 0
49 + 7B + C = 0  ...(3)

Sekarang kita memiliki sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (A, B, C).

Dari persamaan (3), kita bisa mendapatkan C = -49 - 7B.

Substitusikan C ke persamaan (1):
13 - 2A + 3B + (-49 - 7B) = 0
13 - 2A + 3B - 49 - 7B = 0
-36 - 2A - 4B = 0
-2A - 4B = 36
A + 2B = -18  ...(4)

Substitusikan C ke persamaan (2):
61 + 6A - 5B + (-49 - 7B) = 0
61 + 6A - 5B - 49 - 7B = 0
12 + 6A - 12B = 0
6A - 12B = -12
A - 2B = -2  ...(5)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (A, B):
(4) A + 2B = -18
(5) A - 2B = -2

Tambahkan persamaan (4) dan (5):
(A + 2B) + (A - 2B) = -18 + (-2)
2A = -20
A = -10

Substitusikan A = -10 ke persamaan (4):
-10 + 2B = -18
2B = -18 + 10
2B = -8
B = -4

Substitusikan B = -4 ke persamaan (3) untuk mencari C:
C = -49 - 7(-4)
C = -49 + 28
C = -21

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 - 10x - 4y - 21 = 0.

Untuk mencari pusat dan jari-jari, kita ubah ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

(x^2 - 10x) + (y^2 - 4y) = 21
(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 4y + 4) = 21 + 25 + 4
(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 50

Pusat lingkaran (a,b) adalah (5, 2).
Jari-jari (r) adalah sqrt(50) = 5*sqrt(2).