Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soalsoal berikut.a.

a. Pusat (5, -3), Jari-jari 3√2. b. Pusat (-1, 2), Jari-jari √3 / 2.

Pembahasan

Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan yang diberikan, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar persamaan lingkaran, yaitu (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, di mana (h, k) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jarinya.

a. x^2 + y^2 - 10x + 6y + 16 = 0

Kelompokkan suku-suku x dan y:
(x^2 - 10x) + (y^2 + 6y) + 16 = 0

Lengkapi kuadrat untuk suku x dan y. Untuk suku x, kita tambahkan (-10/2)^2 = (-5)^2 = 25. Untuk suku y, kita tambahkan (6/2)^2 = (3)^2 = 9.

(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 6y + 9) + 16 - 25 - 9 = 0

Ubahlah ke bentuk kuadrat:
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 - 18 = 0

Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 18

Dari bentuk ini, kita dapat melihat bahwa:
Pusat lingkaran (h, k) = (5, -3)
Jari-jari lingkaran r^2 = 18, sehingga r = √18 = 3√2.

b. 4x^2 + 4y^2 + 8x - 16y + 17 = 0

Pertama, bagi seluruh persamaan dengan 4 agar koefisien x^2 dan y^2 menjadi 1:

x^2 + y^2 + 2x - 4y + 17/4 = 0

Kelompokkan suku-suku x dan y:
(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) + 17/4 = 0

Lengkapi kuadrat untuk suku x dan y. Untuk suku x, kita tambahkan (2/2)^2 = (1)^2 = 1. Untuk suku y, kita tambahkan (-4/2)^2 = (-2)^2 = 4.

(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 17/4 - 1 - 4 = 0

Ubahlah ke bentuk kuadrat:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 17/4 - 5 = 0

Samakan penyebut untuk konstanta:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 17/4 - 20/4 = 0

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 3/4 = 0

Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3/4

Dari bentuk ini, kita dapat melihat bahwa:
Pusat lingkaran (h, k) = (-1, 2)
Jari-jari lingkaran r^2 = 3/4, sehingga r = √(3/4) = √3 / 2.

Ringkasan:
a. Pusat: (5, -3), Jari-jari: 3√2
b. Pusat: (-1, 2), Jari-jari: √3 / 2