Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran

Titik pusat lingkaran adalah $(-2, -1)$ dan jari-jarinya adalah $\frac{\sqrt{39}}{3}$.

Pembahasan

Untuk menentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $3x^2+3y^2+12x+6y+3=1$, pertama-tama kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar persamaan lingkaran, yaitu $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h,k)$ adalah titik pusat dan $r$ adalah jari-jari.

Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan dengan membagi seluruh persamaan dengan 3:
$x^2+y^2+4x+2y+1 = \frac{1}{3}$

Selanjutnya, kita akan kelompokkan suku-suku $x$ dan $y$ dan melengkapkan kuadrat:
$(x^2+4x) + (y^2+2y) = \frac{1}{3} - 1$
$(x^2+4x) + (y^2+2y) = -\frac{2}{3}$

Untuk melengkapkan kuadrat pada suku $x$, kita tambahkan $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$ ke kedua sisi. Untuk suku $y$, kita tambahkan $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$ ke kedua sisi:
$(x^2+4x+4) + (y^2+2y+1) = -\frac{2}{3} + 4 + 1$
$(x+2)^2 + (y+1)^2 = -\frac{2}{3} + 5$
$(x+2)^2 + (y+1)^2 = -\frac{2}{3} + \frac{15}{3}$
$(x+2)^2 + (y+1)^2 = \frac{13}{3}$

Dari bentuk standar $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, kita dapat mengidentifikasi:
Titik pusat $(h,k)$ adalah $(-2, -1)$.
Jari-jari kuadrat $r^2$ adalah $\frac{13}{3}$, sehingga jari-jari $r = \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}$.

Jadi, titik pusat lingkaran adalah $(-2, -1)$ dan jari-jarinya adalah $\frac{\sqrt{39}}{3}$.