Tuliskan barisan-barisan penjumlahan berikut dalam bentuk

Notasi sigma yang tepat adalah $\sum_{i=1}^{5} (-1)^{i+1} (2i-1)^3$.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menuliskan barisan penjumlahan dalam bentuk notasi sigma. Barisan yang diberikan adalah $1^3 - 3^3 + 5^3 - 7^3 + 9^3$. Kita perlu mengidentifikasi pola suku-sukunya dan bagaimana indeks berubah.

Mari kita analisis suku-sukunya:
Suku pertama: $1^3$. Basisnya adalah 1.
Suku kedua: $-3^3$. Basisnya adalah 3, dan tandanya negatif.
Suku ketiga: $5^3$. Basisnya adalah 5, dan tandanya positif.
Suku keempat: $-7^3$. Basisnya adalah 7, dan tandanya negatif.
Suku kelima: $9^3$. Basisnya adalah 9, dan tandanya positif.

Perhatikan pola basisnya: 1, 3, 5, 7, 9. Ini adalah barisan bilangan ganjil.
Perhatikan pola tandanya: +, -, +, -, +. Ini adalah pola bergantian.

Kita bisa merepresentasikan bilangan ganjil ke-n sebagai $2n - 1$ atau $2n + 1$. Jika kita mulai dari $n=1$, maka:
Untuk $n=1$: $2(1)-1 = 1$
Untuk $n=2$: $2(2)-1 = 3$
Untuk $n=3$: $2(3)-1 = 5$
Untuk $n=4$: $2(4)-1 = 7$
Untuk $n=5$: $2(5)-1 = 9$
Jadi, basis dari suku ke-n adalah $(2n-1)$.

Sekarang, mari kita lihat polanya untuk $(-1)^{n+1}$ atau $(-1)^{n-1}$ untuk tanda bergantian.
Jika $n=1$ (suku pertama), tanda positif: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ atau $(-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$.
Jika $n=2$ (suku kedua), tanda negatif: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ atau $(-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$.
Jika $n=3$ (suku ketiga), tanda positif: $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$ atau $(-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$.

Jadi, suku ke-n dapat ditulis sebagai $(-1)^{n+1} (2n-1)^3$ atau $(-1)^{n-1} (2n-1)^3$.

Karena barisan tersebut memiliki 5 suku (untuk i=1, 2, 3, 4, 5), maka notasi sigma yang tepat adalah:
$$ \sum_{n=1}^{5} (-1)^{n+1} (2n-1)^3 $$ 
atau
$$ \sum_{n=1}^{5} (-1)^{n-1} (2n-1)^3 $$ 

Jika kita menggunakan indeks 'i' seperti yang disebutkan dalam soal (walaupun pola basisnya lebih mudah diwakili dengan 'n' yang dimulai dari 1), maka basisnya adalah $2i-1$ dan tandanya $(-1)^{i+1}$.
$$ \sum_{i=1}^{5} (-1)^{i+1} (2i-1)^3 $$