Tuliskan bilangan a/b - b/a sebagai perkalian dua bilangan

a/b dan b/a

Pembahasan

Untuk menuliskan a/b - b/a sebagai perkalian dua bilangan yang jumlahnya a/b + b/a, kita bisa menggunakan identitas aljabar.
Misalkan x = a/b dan y = b/a.
Kita ingin mencari dua bilangan, sebut saja P dan Q, sedemikian rupa sehingga:
P * Q = x - y
P + Q = x + y

Dari persamaan P + Q = x + y, kita bisa mengekspresikan P sebagai P = x + y - Q.
Substitusikan ini ke persamaan P * Q = x - y:
(x + y - Q) * Q = x - y
Q(x + y) - Q^2 = x - y
Q^2 - (x + y)Q + (x - y) = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam Q. Kita bisa menyelesaikannya menggunakan rumus kuadratik:
Q = [-( -(x+y) ) ± sqrt( (-(x+y))^2 - 4*1*(x-y) )] / (2*1)
Q = [(x + y) ± sqrt( (x + y)^2 - 4(x - y) )] / 2
Q = [(x + y) ± sqrt( x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 4y )] / 2

Jika kita menyederhanakan x - y dan x + y:
x - y = a/b - b/a = (a^2 - b^2) / ab
x + y = a/b + b/a = (a^2 + b^2) / ab

Maka:
Q = [ (a^2 + b^2)/ab ± sqrt( ((a^2 + b^2)/ab)^2 - 4 * (a^2 - b^2)/ab ) ] / 2

Namun, ada cara yang lebih sederhana menggunakan identitas:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Perhatikan bahwa:
(a/b + b/a)^2 = (a/b)^2 + 2(a/b)(b/a) + (b/a)^2 = a^2/b^2 + 2 + b^2/a^2
(a/b - b/a)^2 = (a/b)^2 - 2(a/b)(b/a) + (b/a)^2 = a^2/b^2 - 2 + b^2/a^2

Kita tahu bahwa:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Jika kita menganggap:
P = a/b dan Q = b/a
Kita mencari M dan N sehingga:
M * N = P - Q
M + N = P + Q

Dari P + Q = a/b + b/a,
Dari P - Q = a/b - b/a,

Kita bisa menggunakan identitas:
(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

Mari kita coba dengan P = (a/b + b/a)/2 + sqrt(((a/b + b/a)/2)^2 - (a/b - b/a)) dan Q = (a/b + b/a)/2 - sqrt(((a/b + b/a)/2)^2 - (a/b - b/a)). Ini terlalu rumit.

Cara yang lebih langsung adalah melihat bentuknya:
a/b - b/a
a/b + b/a

Perhatikan bahwa:
(a/b + b/a) * (a/b - b/a) = (a/b)^2 - (b/a)^2 = a^2/b^2 - b^2/a^2
Ini bukan yang kita cari.

Mari kita lihat:
(a/b)^2 - (b/a)^2 = (a/b - b/a)(a/b + b/a)

Kita ingin dua bilangan, M dan N, sehingga:
M * N = a/b - b/a
M + N = a/b + b/a

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
x^2 - (jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0

Maka, kedua bilangan tersebut adalah akar-akar dari persamaan:
x^2 - (a/b + b/a)x + (a/b - b/a) = 0

Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan rumus kuadratik:
x = [ (a/b + b/a) ± sqrt( (a/b + b/a)^2 - 4(a/b - b/a) ) ] / 2

Namun, soal meminta untuk menuliskannya sebagai perkalian dua bilangan yang *jumlahnya* a/b + b/a.
Ini berarti kita mencari M dan N sehingga:
M * N = a/b - b/a
M + N = a/b + b/a

Perhatikan bentuk:
(a/b)^2 - (b/a)^2 = (a/b - b/a) (a/b + b/a)

Jika kita memilih satu bilangan sebagai:
M = (a/b + b/a) / 2 + K
N = (a/b + b/a) / 2 - K
Maka M + N = a/b + b/a.

M * N = ( (a/b + b/a) / 2 )^2 - K^2
Kita ingin M * N = a/b - b/a.

( (a/b + b/a) / 2 )^2 - K^2 = a/b - b/a
K^2 = ( (a/b + b/a) / 2 )^2 - (a/b - b/a)
K^2 = ( (a^2+b^2)/(2ab) )^2 - (a^2-b^2)/ab
K^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) / (4a^2b^2) - 4a^2b^2 / (4a^2b^2)
K^2 = (a^4 - 2a^2b^2 + b^4) / (4a^2b^2)
K^2 = (a^2 - b^2)^2 / (2ab)^2
K = ± (a^2 - b^2) / (2ab)

Maka, dua bilangan tersebut adalah:
M = (a/b + b/a)/2 + (a^2 - b^2)/(2ab)
M = (a^2+b^2)/(2ab) + (a^2 - b^2)/(2ab)
M = (2a^2) / (2ab) = a/b

N = (a/b + b/a)/2 - (a^2 - b^2)/(2ab)
N = (a^2+b^2)/(2ab) - (a^2 - b^2)/(2ab)
N = (2b^2) / (2ab) = b/a

Jadi, a/b - b/a dapat ditulis sebagai perkalian dua bilangan yaitu a/b dan b/a, yang jumlahnya adalah a/b + b/a.