Tunjukkan Bahwa: 2 cos (1/4 pi + a) sin (1/4 pi - a) = 1-2

Terbukti dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah/selisih dan identitas trigonometri dasar.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa \( 2 \cos (\frac{1}{4} \pi + a) \sin (\frac{1}{4} \pi - a) = 1-2 \sin a \cos a \), kita dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri berikut:
1. Rumus jumlah dan selisih cosinus: \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
2. Rumus jumlah dan selisih sinus: \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)
3. Rumus perkalian sinus dan kosinus: \( 2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) \)

Kita tahu bahwa \( \frac{1}{4} \pi = 45^\circ \).

Mari kita ubah bentuk \( \cos (\frac{1}{4} \pi + a) \) dan \( \sin (\frac{1}{4} \pi - a) \) terlebih dahulu.

\( \cos (\frac{1}{4} \pi + a) = \cos \frac{1}{4} \pi \cos a - \sin \frac{1}{4} \pi \sin a \)
Karena \( \cos \frac{1}{4} \pi = \frac{1}{2} \sqrt{2} \) dan \( \sin \frac{1}{4} \pi = \frac{1}{2} \sqrt{2} \),
maka:
\( \cos (\frac{1}{4} \pi + a) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cos a - \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin a = \frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos a - \sin a) \)

\( \sin (\frac{1}{4} \pi - a) = \sin \frac{1}{4} \pi \cos a - \cos \frac{1}{4} \pi \sin a \)
maka:
\( \sin (\frac{1}{4} \pi - a) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cos a - \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin a = \frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos a - \sin a) \)

Sekarang, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan awal:
\( 2 \cos (\frac{1}{4} \pi + a) \sin (\frac{1}{4} \pi - a) = 2 \times [\frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos a - \sin a)] \times [\frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos a - \sin a)] \)
\( = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \times (\cos a - \sin a)^2 \)
\( = 2 \times \frac{1}{4} \times 2 \times (\cos^2 a - 2 \cos a \sin a + \sin^2 a) \)
\( = 1 \times ((\cos^2 a + \sin^2 a) - 2 \cos a \sin a) \)
Karena \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \),
maka:
\( = 1 \times (1 - 2 \cos a \sin a) \)
\( = 1 - 2 \cos a \sin a \)

Terbukti bahwa \( 2 \cos (\frac{1}{4} \pi + a) \sin (\frac{1}{4} \pi - a) = 1-2 \sin a \cos a \).