Tunjukkan bahwa lim x menuju tak hingga 3^(1/x)=1.

Karena $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, maka $3^{1/x}$ mendekati $3^0$, yang sama dengan 1.

Pembahasan

Kita perlu menunjukkan bahwa $\lim_{x \to \infty} 3^{1/x} = 1$.

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan eksponensial.

Perhatikan eksponennya, yaitu $\frac{1}{x}$. Ketika $x$ mendekati tak hingga ($x \to \infty$), nilai dari $\frac{1}{x}$ akan mendekati nol ($\frac{1}{x} \to 0$).

Jadi, kita dapat menulis ulang limitnya sebagai:
$\lim_{x \to \infty} 3^{1/x} = 3^{\lim_{x \to \infty} (1/x)}$

Karena $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, maka:
$3^{\lim_{x \to \infty} (1/x)} = 3^0$

Setiap bilangan real (selain 0) yang dipangkatkan dengan 0 adalah 1.
$3^0 = 1$

Oleh karena itu, $\lim_{x \to \infty} 3^{1/x} = 1$.

Penjelasan tambahan:
Kita bisa memikirkan ini sebagai $y = 3^{1/x}$. Ketika $x$ menjadi sangat besar, $1/x$ menjadi sangat kecil, mendekati nol. Misalnya, jika $x = 1.000.000$, maka $1/x = 0.000001$. Maka $3^{0.000001}$ akan sangat dekat dengan $3^0$, yaitu 1.

Alternatif menggunakan logaritma:
Misalkan $L = \lim_{x \to \infty} 3^{1/x}$.
Ambil logaritma natural (ln) dari kedua sisi:
$\\ln(L) = \ln(\lim_{x \to \infty} 3^{1/x})$
Karena fungsi logaritma kontinu, kita bisa memindahkan limit ke dalam:
$\\ln(L) = \lim_{x \to \infty} \ln(3^{1/x})$
$\\ln(L) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln(3)$
$\\ln(L) = \ln(3) \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$
$\\ln(L) = \ln(3) \times 0$
$\\ln(L) = 0$

Untuk mendapatkan $L$, kita eksponensialkan kedua sisi:
$e^{\\ln(L)} = e^0$
$L = 1$

Jadi, terbukti bahwa $\lim_{x \to \infty} 3^{1/x} = 1$.