Tunjukkan kebenaran identitas trigonometri berikut. (tan^4

Identitas terbukti benar dengan menyederhanakan sisi kiri menjadi tan^2 x - 1.

Pembahasan

Untuk menunjukkan kebenaran identitas trigonometri (tan^4 x - 1)/(sec^2 x) = tan^2 x - 1, kita dapat memulai dengan menyederhanakan sisi kiri identitas.

Sisi kiri: (tan^4 x - 1)/(sec^2 x)

Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x dan sec x = 1 / cos x. Mengganti ini ke dalam persamaan:

= ((sin^4 x / cos^4 x) - 1) / (1 / cos^2 x)

Untuk menyederhanakan bagian atas, kita samakan penyebutnya:

= ((sin^4 x - cos^4 x) / cos^4 x) / (1 / cos^2 x)

Sekarang, kita bagi kedua pecahan dengan mengalikan dengan kebalikan dari penyebutnya:

= ((sin^4 x - cos^4 x) / cos^4 x) * (cos^2 x / 1)

Kita dapat menyederhanakan cos^2 x di pembilang dan penyebut:

= (sin^4 x - cos^4 x) / cos^2 x

Sekarang, kita faktorkan bagian pembilang (sin^4 x - cos^4 x) sebagai selisih kuadrat (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)), di mana a = sin^2 x dan b = cos^2 x:

= ((sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)) / cos^2 x

Kita tahu bahwa identitas trigonometri dasar menyatakan sin^2 x + cos^2 x = 1:

= ((sin^2 x - cos^2 x)(1)) / cos^2 x

= (sin^2 x - cos^2 x) / cos^2 x

Sekarang, kita pisahkan pecahan ini menjadi dua:

= (sin^2 x / cos^2 x) - (cos^2 x / cos^2 x)

Kita tahu bahwa sin^2 x / cos^2 x = tan^2 x dan cos^2 x / cos^2 x = 1:

= tan^2 x - 1

Ini sama dengan sisi kanan identitas. Jadi, identitas tersebut terbukti benar.

Jawaban Singkat: Dengan menyederhanakan sisi kiri menggunakan identitas tan x = sin x/cos x, sec x = 1/cos x, sin^2 x + cos^2 x = 1, dan faktorisasi selisih kuadrat, kita mendapatkan tan^2 x - 1, yang sama dengan sisi kanan.