Turunan pertama dari f(x)=sin^2 3 x adalah ....

$3\sin(6x)$

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari $f(x) = \sin^2(3x)$, kita gunakan aturan rantai. Misalkan $u = \sin(3x)$, maka $f(x) = u^2$. Turunan $f(x)$ terhadap $u$ adalah $\frac{df}{du} = 2u$. Selanjutnya, kita cari turunan $u$ terhadap $x$. Misalkan $v = 3x$, maka $u = \sin(v)$. Turunan $u$ terhadap $v$ adalah $\frac{du}{dv} = \cos(v)$. Turunan $v$ terhadap $x$ adalah $\frac{dv}{dx} = 3$. Menggunakan aturan rantai, $\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \cos(v) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

Sekarang, kita gabungkan kembali untuk mencari turunan $f(x)$ terhadap $x$: $\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3\cos(3x) = 2\sin(3x) \cdot 3\cos(3x) = 6\sin(3x)\cos(3x)$.

Kita bisa menyederhanakan ini lebih lanjut menggunakan identitas trigonometri $2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)$. Dalam kasus ini, $\theta = 3x$, jadi $2\sin(3x)\cos(3x) = \sin(2 \cdot 3x) = \sin(6x)$.

Maka, $6\sin(3x)\cos(3x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(6x)$.