Agar grafik fungsi kuadrat f(x)=px^2+2px+(3/(2p)-5/4) tidak

Nilai p yang memenuhi adalah -2 < p < 0 atau 0 < p < 3/4.

Pembahasan

Agar grafik fungsi kuadrat f(x) = px² + 2px + (3/(2p) - 5/4) tidak memotong maupun menyinggung sumbu X, diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut harus negatif (D < 0).

Diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah D = b² - 4ac.
Dalam fungsi f(x) = px² + 2px + (3/(2p) - 5/4), kita memiliki:
a = p
b = 2p
c = 3/(2p) - 5/4

Kita juga perlu memastikan bahwa koefisien dari x² (yaitu p) tidak nol, karena jika p = 0, fungsi tersebut bukan lagi fungsi kuadrat.

Langkah 1: Hitung diskriminan (D).
D = b² - 4ac
D = (2p)² - 4(p)(3/(2p) - 5/4)
D = 4p² - 4p(3/(2p)) + 4p(5/4)
D = 4p² - 6 + 5p

Langkah 2: Tentukan kondisi agar grafik tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.
Ini berarti D < 0.
4p² + 5p - 6 < 0

Langkah 3: Cari akar-akar dari persamaan kuadrat 4p² + 5p - 6 = 0.
Kita bisa menggunakan rumus kuadratik atau faktorisasi.
Mari kita faktorkan:
(4p - 3)(p + 2) = 0

Akar-akarnya adalah:
4p - 3 = 0 => p = 3/4
p + 2 = 0 => p = -2

Langkah 4: Tentukan interval nilai p agar 4p² + 5p - 6 < 0.
Karena koefisien p² (yaitu 4) positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan < 0 berarti kita mencari nilai p di antara akar-akarnya.
Jadi, -2 < p < 3/4.

Langkah 5: Gabungkan dengan syarat p ≠ 0.
Karena p = 0 berada dalam interval (-2, 3/4), kita perlu mengecualikannya.
Maka, nilai p yang memenuhi adalah -2 < p < 0 atau 0 < p < 3/4.

Jadi, agar grafik fungsi kuadrat f(x)=px^2+2px+(3/(2p)-5/4) tidak memotong maupun menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah -2 < p < 0 atau 0 < p < 3/4.