Anton berada di titik A pada tepi sebuah danau yang

Anton seharusnya langsung mendayung perahu menyeberangi danau. Waktu tersingkat adalah 2 jam.

Pembahasan

Anton harus berjalan kaki sejauh setengah lingkaran dan mendayung perahu menyeberangi danau.
Jarak setengah lingkaran: 
Setengah keliling lingkaran = 1/2 * 2 * pi * r = pi * r = pi * sqrt(3) km
Waktu berjalan kaki = Jarak / Kecepatan = (pi * sqrt(3)) / 2 jam
Jarak menyeberangi danau = Diameter = 2 * r = 2 * sqrt(3) km
Waktu mendayung perahu = Jarak / Kecepatan = (2 * sqrt(3)) / sqrt(3) = 2 jam
Total waktu = Waktu berjalan kaki + Waktu mendayung perahu = (pi * sqrt(3)) / 2 + 2 jam

Untuk mencari waktu tersingkat, kita perlu menganalisis fungsi waktu T(theta). Namun, berdasarkan informasi yang diberikan (kelajuan berjalan dan mendayung serta bentuk danau), pendekatan yang paling efisien adalah kombinasi antara berjalan di tepi danau dan mendayung perahu.

Mari kita analisis lebih lanjut dengan pendekatan kalkulus:
Misalkan Anton berjalan sejauh sudut theta dari titik A, kemudian mendayung perahu menyeberangi danau.
Jarak berjalan = r * theta = sqrt(3) * theta
Waktu berjalan = (sqrt(3) * theta) / 2
Jarak mendayung = sqrt((r*sin(theta))^2 + (r - r*cos(theta))^2) = sqrt(3 * sin^2(theta) + 3 * (1 - cos(theta))^2)
= sqrt(3 * sin^2(theta) + 3 * (1 - 2cos(theta) + cos^2(theta)))
= sqrt(3 * (sin^2(theta) + cos^2(theta)) + 3 - 6cos(theta))
= sqrt(3 + 3 - 6cos(theta)) = sqrt(6 * (1 - cos(theta)))
Karena 1 - cos(theta) = 2 * sin^2(theta/2), maka jarak mendayung = sqrt(12 * sin^2(theta/2)) = 2 * sqrt(3) * sin(theta/2)
Waktu mendayung = (2 * sqrt(3) * sin(theta/2)) / sqrt(3) = 2 * sin(theta/2)

Total waktu T(theta) = (sqrt(3) * theta) / 2 + 2 * sin(theta/2)
Untuk mencari waktu tersingkat, kita turunkan T(theta) terhadap theta dan setarakan dengan 0:
dt/d(theta) = sqrt(3)/2 + 2 * cos(theta/2) * (1/2) = sqrt(3)/2 + cos(theta/2)
Setarakan dengan 0: sqrt(3)/2 + cos(theta/2) = 0 => cos(theta/2) = -sqrt(3)/2
Ini berarti theta/2 = 5pi/6 atau theta = 5pi/3. Namun, ini di luar jangkauan yang memungkinkan (0 <= theta <= pi).

Mari kita evaluasi T(theta) pada titik ujung selang:
Jika theta = 0 (langsung mendayung): T(0) = 0 + 2*sin(0) = 0. Ini tidak masuk akal karena dia harus menempuh jarak diameter.
Jika theta = pi (berjalan setengah lingkaran lalu mendayung): T(pi) = (sqrt(3) * pi) / 2 + 2 * sin(pi/2) = (sqrt(3) * pi) / 2 + 2.

Kesalahan dalam interpretasi soal atau pendekatan kalkulus. Mari kita gunakan logika sederhana:
Anton ingin mencapai titik C yang berada tepat di seberang A. Ada dua opsi ekstrem:
1. Berjalan mengelilingi tepi danau: Jarak = pi * r = pi * sqrt(3) km. Waktu = (pi * sqrt(3)) / 2 jam.
2. Mendayung perahu lurus menyeberangi danau: Jarak = diameter = 2 * r = 2 * sqrt(3) km. Waktu = (2 * sqrt(3)) / sqrt(3) = 2 jam.

Perbandingan waktu:
(pi * sqrt(3)) / 2 vs 2
(3.14 * 1.732) / 2 vs 2
5.438 / 2 vs 2
2.719 vs 2

Mendayung lurus lebih cepat.

Namun, soal meminta strategi optimal. Anton bisa berjalan sebagian lalu mendayung.
Misalkan Anton berjalan sejauh sudut \(\theta\) dan kemudian mendayung.
Jarak berjalan = \(\sqrt{3}\theta\)
Waktu berjalan = \(\frac{\sqrt{3}\theta}{2}\)
Jarak mendayung adalah garis lurus dari titik di tepi danau ke titik C. Ini membentuk segitiga dengan dua sisi \(r\) dan sudut \(\pi - \theta\) di pusat. Dengan hukum kosinus, jarak mendayung adalah \(\sqrt{r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\pi - \theta)} = \sqrt{2r^2(1 - \cos(\pi - \theta))} = \sqrt{2r^2(1 + \cos\theta)} = r\sqrt{2(1+\cos\theta)} = \sqrt{3}\sqrt{2(1+\cos\theta)}\). Menggunakan identitas \(1+\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)\), jarak mendayung adalah \(\sqrt{3}\sqrt{4\cos^2(\theta/2)} = 2\sqrt{3} \cos(\theta/2)\).
Waktu mendayung = \(\frac{2\sqrt{3}\cos(\theta/2)}{\sqrt{3}} = 2\cos(\theta/2)\).

Total waktu T(\\) = \(\frac{\sqrt{3}\theta}{2} + 2\cos(\theta/2)\).

Turunkan terhadap \(\theta\):
dt/d(theta) = \(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sin(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(\theta/2)\).

Setarakan dengan 0:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(\theta/2) = 0\)
\(\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\theta/2 = \pi/3\)
\(\theta = 2\pi/3\).

Jadi, Anton harus berjalan sejauh \(r\theta = \sqrt{3} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\) km.
Waktu berjalan = \(\frac{2\pi}{\sqrt{3}} / 2 = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \) jam.
Jarak mendayung = \(2\sqrt{3} \cos(\frac{2\pi/3}{2}) = 2\sqrt{3} \cos(\pi/3) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\) km.
Waktu mendayung = \(\sqrt{3} / \sqrt{3} = 1\) jam.

Total waktu tersingkat = \(\frac{\pi}{\sqrt{3}} + 1 \) jam.
\( \approx \frac{3.14159}{1.732} + 1 \approx 1.8138 + 1 = 2.8138 \) jam.

Mari kita cek ulang. Jika Anton langsung mendayung, waktu = 2 jam. Jika Anton berjalan setengah lingkaran, waktu = \(\pi\sqrt{3}/2 \approx 2.719\) jam.

Ada kemungkinan bahwa solusi optimal adalah berjalan sejauh setengah lingkaran lalu mendayung (ini berarti \(\theta = 
equenz{pi}\)), atau mendayung lurus. Namun, kita menemukan titik stasioner di \(\theta = 2\pi/3\). Mari hitung waktu pada \(\theta = 2\pi/3\):
T(2pi/3) = \(\frac{\sqrt{3}(2\pi/3)}{2} + 2\cos(\pi/3) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 2(1/2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 1\)
\( \approx \frac{3.14159 * 1.732}{3} + 1 \approx 1.8138 + 1 = 2.8138 \) jam.
Ini lebih lama dari mendayung lurus (2 jam).

Mari kita periksa kembali turunan:
dt/d(theta) = \(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(\theta/2)\).
Jika \(\theta = 0\), dt/d(theta) = \(\sqrt{3}/2\) (naik).
Jika \(\theta = \pi\), dt/d(theta) = \(\sqrt{3}/2 - \sin(\pi/2) = \sqrt{3}/2 - 1 < 0\) (turun).
Ini berarti nilai minimum ada di antara 0 dan \(\pi\). Titik stasioner kita adalah \(\theta = 2\pi/3\).

Perhitungan ulang jarak mendayung:
Anton berjalan sejauh \(r\theta\). Titik akhirnya adalah \((r\cos\theta, r\sin\theta)\). Titik tujuan C adalah \((-r, 0)\). Jarak mendayung adalah jarak antara \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) dan \((-r, 0)\).
Jarak^2 = \((r\cos\theta - (-r))^2 + (r\sin\theta - 0)^2\)
= \((r\cos\theta + r)^2 + (r\sin\theta)^2\)
= \(r^2(\cos^2\theta + 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta)\)
= \(r^2(2 + 2\cos\theta)\)
= \(2r^2(1 + \cos\theta)\)
= \(2r^2(2\cos^2(\theta/2))\)
= \(4r^2\cos^2(\theta/2)\)
Jarak = \(2r\cos(\theta/2)\) = \(2\sqrt{3}\cos(\theta/2)\).

Waktu mendayung = \(\frac{2\sqrt{3}\cos(\theta/2)}{\sqrt{3}} = 2\cos(\theta/2)\).

Jadi, fungsi waktu T(\\) = \(\frac{\sqrt{3}\theta}{2} + 2\cos(\theta/2)\) adalah benar.

Kita perlu membandingkan waktu pada titik-titik kritis: \(\theta = 0\) (langsung mendayung), \(\theta = \pi\) (berjalan setengah lingkaran lalu mendayung), dan titik stasioner \(\theta = 2\pi/3\).

1. \(\theta = 0\) (Langsung mendayung):
   Jarak = 2r = \(2\sqrt{3}\) km.
Waktu = \(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\) jam.

2. \(\theta = \pi\) (Berjalan setengah lingkaran):
   Jarak berjalan = \(\pi r = \pi\sqrt{3}\) km.
Waktu berjalan = \(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\) jam.
Dari titik \(A(\sqrt{3}, 0)\) ke \(C(-\sqrt{3}, 0)\) dengan berjalan di tepi lingkaran, ini berarti Anton sudah di titik \(A'(-\sqrt{3}, 0)\) yang merupakan titik C. Jadi tidak perlu mendayung.
Waktu = \(\frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx 2.719\) jam.

3. \(\theta = 2\pi/3\) (Titik stasioner):
T(2pi/3) = \(\frac{\sqrt{3}(2\pi/3)}{2} + 2\cos(\pi/3) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 2(1/2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 1\)
\( \approx 1.8138 + 1 = 2.8138 \) jam.

Nilai minimum terjadi saat \(\theta=0\) (langsung mendayung). Namun, ini kontradiktif dengan analisis turunan yang menunjukkan minimum di \(\theta=0\) atau \(\theta = 2\pi/3\) sebagai titik stasioner.

Mari kita analisis ulang soal. Anton ingin menuju ke titik C yang tepat berada di seberang A. Ini berarti C adalah titik antipodal dari A. Danau berbentuk lingkaran.
Kecepatan jalan = 2 km/jam. Kecepatan dayung = \(\sqrt{3}\) km/jam.
Jari-jari = \(\sqrt{3}\) km.

Misalkan Anton berjalan sejauh \(x\) km di tepi danau, lalu mendayung lurus ke C.
Panjang busur = \(x\). Sudut yang ditempuh = \(\theta = x/r = x/\sqrt{3}\) radian.
Waktu berjalan = \(x/2\).
Setelah berjalan sejauh \(x\), Anton berada pada posisi \((r\cos\theta, r\sin\theta)\). Titik C adalah \((-r, 0)\).
Jarak mendayung = \(\sqrt{(r\cos\theta - (-r))^2 + (r\sin\theta - 0)^2}\) = \(\sqrt{(r\cos\theta + r)^2 + (r\sin\theta)^2}\) = \(\sqrt{r^2(\cos^2\theta + 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta)}\) = \(\sqrt{r^2(2 + 2\cos\theta)}\) = \(r\sqrt{2(1+\cos\theta)}\) = \(r\sqrt{4\cos^2(\theta/2)}\) = \(2r\cos(\theta/2)\).
Karena \(r = \sqrt{3}\), jarak mendayung = \(2\sqrt{3}\cos(\theta/2)\).
Waktu mendayung = \(\frac{2\sqrt{3}\cos(\theta/2)}{\sqrt{3}} = 2\cos(\theta/2)\).

Total waktu T = Waktu berjalan + Waktu mendayung = \(x/2 + 2\cos(\theta/2)\).
Ganti \(x = r\theta = \sqrt{3}\theta\).
T(\\) = \(\frac{\sqrt{3}\theta}{2} + 2\cos(\theta/2)\).

Turunkan terhadap \(\theta\):
dt/d(theta) = \(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(\theta/2)\).
Setarakan dengan 0:
\(\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\theta/2 = \pi/3\) atau \(\theta/2 = 2\pi/3\).
\(\theta = 2\pi/3\) atau \(\theta = 4\pi/3\).
Karena Anton bergerak dari A ke C (seberang), sudut \(\theta\) harus antara 0 dan \(\pi\). Jadi, \(\theta = 2\pi/3\).

Sekarang kita perlu membandingkan waktu pada \(\theta = 0\), \(\theta = \pi\), dan \(\theta = 2\pi/3\).

1. \(\theta = 0\) (Langsung mendayung):
Waktu = \(T(0) = \frac{\sqrt{3}(0)}{2} + 2\cos(0) = 0 + 2(1) = 2\) jam.

2. \(\theta = \pi\) (Berjalan setengah lingkaran):
Waktu = \(T(\pi) = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + 2\cos(\pi/2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + 0 \approx 2.719\) jam.

3. \(\theta = 2\pi/3\) (Titik stasioner):
Waktu = \(T(2\pi/3) = \frac{\sqrt{3}(2\pi/3)}{2} + 2\cos(\pi/3) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 2(1/2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 1 \approx 1.8138 + 1 = 2.8138\) jam.

Dari ketiga kasus ini, waktu tersingkat adalah 2 jam, yaitu ketika Anton langsung mendayung.

Namun, jika soalnya meminta strategi yang melibatkan berjalan, maka kita harus mempertimbangkan hasil dari kalkulus.
Ada kemungkinan saya salah memahami