Batas-batas nilai x yang memenuhi pertidak-samaan

$-6 \\le x < -2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\\\sqrt{x+6} > x+4$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

**Kasus 1: $x+4 < 0$ (yaitu, $x < -4$)**
Dalam kasus ini, sisi kanan pertidaksamaan negatif. Karena akar kuadrat selalu non-negatif, maka $\\\sqrt{x+6}$ pasti lebih besar dari bilangan negatif. Namun, kita juga harus memastikan bahwa ekspresi di bawah akar kuadrat adalah non-negatif, yaitu $x+6 \\ge 0$, yang berarti $x \\ge -6$.
Jadi, untuk kasus ini, kita memiliki $-6 \\le x < -4$.

**Kasus 2: $x+4 \\ge 0$ (yaitu, $x \\ge -4$)**
Dalam kasus ini, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, sehingga kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
$(\\\sqrt{x+6})^2 > (x+4)^2$
$x+6 > x^2 + 8x + 16$
$0 > x^2 + 7x + 10$
$x^2 + 7x + 10 < 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akar dari $x^2 + 7x + 10 = 0$.
$(x+2)(x+5) = 0$
Akar-akarnya adalah $x = -2$ dan $x = -5$.
Karena parabola $y = x^2 + 7x + 10$ terbuka ke atas, maka $x^2 + 7x + 10 < 0$ ketika $-5 < x < -2$.

Kita juga harus mempertimbangkan syarat dari kasus ini, yaitu $x \\ge -4$. Irisan dari $-5 < x < -2$ dan $x \\ge -4$ adalah $-4 \\le x < -2$.

**Menggabungkan Kedua Kasus:**
Kita gabungkan hasil dari Kasus 1 ($-6 \\le x < -4$) dan Kasus 2 ($-4 \\le x < -2$).
Irisan dari kedua interval ini adalah $-6 \\le x < -2$.

Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $\\\sqrt{x+6} > x+4$ adalah $-6 \\le x < -2$.