Bayangan garis x+3y+akar(2)=0 karena rotasi [O(0,0),

Bayangan garisnya adalah 2x - y + 1 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari bayangan garis setelah transformasi, kita perlu menerapkan transformasi secara berurutan.

Transformasi 1: Rotasi [O(0,0), θ=45°]
Matriks rotasi untuk sudut θ adalah:
R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]
Untuk θ = 45°:
cos 45° = 1/√2
sin 45° = 1/√2
R(45°) = [[1/√2, -1/√2], [1/√2, 1/√2]]

Transformasi 2: Refleksi terhadap garis y = x
Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah:
M = [[0, 1], [1, 0]]

Langkah 1: Tentukan matriks transformasi gabungan (rotasi dilanjutkan refleksi).
Matriks gabungan T = M * R(45°)
T = [[0, 1], [1, 0]] * [[1/√2, -1/√2], [1/√2, 1/√2]]
T = [[(0*1/√2 + 1*1/√2), (0*(-1/√2) + 1*1/√2)], [(1*1/√2 + 0*1/√2), (1*(-1/√2) + 0*1/√2)]]
T = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]]

Langkah 2: Terapkan matriks transformasi gabungan pada titik (x, y) untuk mendapatkan bayangannya (x', y').
[[x'], [y']] = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]] * [[x], [y]]

Dari sini kita dapatkan:
x' = (1/√2)x + (1/√2)y
y' = (1/√2)x - (1/√2)y

Langkah 3: Ubah persamaan bayangan menjadi bentuk x dan y dalam kaitannya dengan x' dan y'.
Kita perlu mencari x dan y dalam bentuk x' dan y'.
Tambahkan kedua persamaan:
x' + y' = (2/√2)x = √2 x  => x = (x' + y') / √2
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
x' - y' = (2/√2)y = √2 y  => y = (x' - y') / √2

Langkah 4: Substitusikan x dan y ke dalam persamaan garis asli.
Persamaan garis asli: x + 3y + √2 = 0
Substitusikan x dan y:
((x' + y') / √2) + 3((x' - y') / √2) + √2 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan √2 untuk menghilangkan penyebut:
(x' + y') + 3(x' - y') + (√2 * √2) = 0
x' + y' + 3x' - 3y' + 2 = 0
4x' - 2y' + 2 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 2:
2x' - y' + 1 = 0

Jadi, bayangan garisnya adalah 2x - y + 1 = 0.