Berapa nilai dari lim x->2 [(x^3-3x^2+4)/(x-2)^3]?

Tidak Ada

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan mencoba substitusi langsung terlebih dahulu. Jika kita substitusi x=2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x->2 [(x³ - 3x² + 4) / (x - 2)³]

Karena penyebutnya adalah (x-2)³, kita bisa mencoba memfaktorkan pembilangnya. Jika x=2 adalah akar dari pembilang, maka (x-2) adalah faktornya.
Mari kita cek nilai pembilang pada x=2: (2)³ - 3(2)² + 4 = 8 - 3(4) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. Jadi, (x-2) adalah faktor dari pembilang.

Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau metode Horner untuk memfaktorkan x³ - 3x² + 4. Dengan membagi x³ - 3x² + 4 dengan (x-2), kita mendapatkan x² - x - 2.
Sekarang, faktorkan x² - x - 2. Ini dapat difaktorkan menjadi (x-2)(x+1).
Jadi, pembilang x³ - 3x² + 4 = (x-2)(x² - x - 2) = (x-2)(x-2)(x+1) = (x-2)²(x+1).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->2 [(x-2)²(x+1) / (x - 2)³]

Kita bisa menyederhanakan (x-2)² di pembilang dan penyebut:
lim x->2 [(x+1) / (x - 2)]

Sekarang, mari kita evaluasi limit ini saat x mendekati 2.
Pembilang mendekati 2+1 = 3.
Penyebut mendekati 2-2 = 0.

Ketika pembilang mendekati angka non-nol dan penyebut mendekati nol, nilai limit akan menuju tak hingga (positif atau negatif tergantung dari sisi mana x mendekati 2).
Jika x mendekati 2 dari sisi kanan (x > 2), maka (x - 2) positif, sehingga limitnya adalah +∞.
Jika x mendekati 2 dari sisi kiri (x < 2), maka (x - 2) negatif, sehingga limitnya adalah -∞.

Karena limit dari sisi kiri dan kanan tidak sama, maka limit tersebut tidak ada.

Jawaban Ringkas: Tidak Ada