Bila x=/=1/2 k pi dengan k bilangan bulat, maka nilai (sin

1/(2 sin(2x)) atau 1/2 csc(2x)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi (sin x) / (cos x - cos 3x) dengan syarat x ≠ 1/2 k π (di mana k adalah bilangan bulat), kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Pertama, gunakan identitas penjumlahan ke selisih untuk cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2).
Dalam kasus ini, A = x dan B = 3x.

cos x - cos 3x = -2 sin((x+3x)/2) sin((x-3x)/2)
cos x - cos 3x = -2 sin(4x/2) sin(-2x/2)
cos x - cos 3x = -2 sin(2x) sin(-x)

Karena sin(-x) = -sin(x), maka:
cos x - cos 3x = -2 sin(2x) (-sin x)
cos x - cos 3x = 2 sin(2x) sin(x)

Sekarang, gunakan identitas sudut ganda untuk sin(2x) = 2 sin x cos x:
cos x - cos 3x = 2 (2 sin x cos x) sin x
cos x - cos 3x = 4 sin² x cos x

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi awal:
(sin x) / (cos x - cos 3x) = (sin x) / (4 sin² x cos x)

Sederhanakan dengan membatalkan satu faktor sin x (karena x ≠ kπ, maka sin x ≠ 0):
(sin x) / (4 sin² x cos x) = 1 / (4 sin x cos x)

Terakhir, gunakan identitas sin(2x) = 2 sin x cos x lagi. Kita bisa menulis 4 sin x cos x sebagai 2 * (2 sin x cos x) = 2 sin(2x).

Jadi, ekspresi yang disederhanakan adalah:
1 / (2 sin(2x))

Atau bisa juga ditulis sebagai 1/2 csc(2x).