Buktikan bahwa hanya ada tepat satu bilangan asli n

n = 2009

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa hanya ada tepat satu bilangan asli n sedemikian sehingga n^2 + n + 2010 merupakan bentuk kuadrat sempurna, kita dapat memulainya dengan mengasumsikan bahwa n^2 + n + 2010 = k^2 untuk suatu bilangan asli k. Dengan mengatur ulang persamaan, kita mendapatkan 4n^2 + 4n + 8040 = 4k^2. Ini dapat ditulis ulang sebagai (2n + 1)^2 + 8039 = (2k)^2. Dengan mengatur ulang lagi, kita dapatkan (2k)^2 - (2n + 1)^2 = 8039. Menggunakan selisih kuadrat, kita dapatkan (2k - (2n + 1))(2k + (2n + 1)) = 8039. Karena 8039 adalah bilangan prima, faktor-faktornya hanya 1 dan 8039. Oleh karena itu, kita memiliki dua kemungkinan:
1) 2k - (2n + 1) = 1 dan 2k + (2n + 1) = 8039
Menjumlahkan kedua persamaan, kita dapatkan 4k = 8040, yang memberikan k = 2010. Mengganti nilai k ke dalam persamaan pertama, kita dapatkan 2(2010) - (2n + 1) = 1, yang menyederhanakan menjadi 4020 - 2n - 1 = 1, sehingga 4019 - 2n = 1. Ini menghasilkan 2n = 4018, dan akhirnya n = 2009.
2) 2k - (2n + 1) = 8039 dan 2k + (2n + 1) = 1
Menjumlahkan kedua persamaan, kita dapatkan 4k = 8040, yang memberikan k = 2010. Mengganti nilai k ke dalam persamaan pertama, kita dapatkan 2(2010) - (2n + 1) = 8039, yang menyederhanakan menjadi 4020 - 2n - 1 = 8039, sehingga 4019 - 2n = 8039. Ini menghasilkan -2n = 4020, dan akhirnya n = -2010. Namun, karena n harus berupa bilangan asli, solusi ini tidak valid.
Oleh karena itu, satu-satunya bilangan asli n yang memenuhi kondisi tersebut adalah n = 2009.

Bilangan asli n yang memenuhi adalah 2009.