Buktikan bahwa: Jumlah besar sudut yang berhadapan dalam

Jumlah sudut yang berhadapan dalam segi empat tali busur adalah 180 derajat.

Pembahasan

Teorema tentang sudut dalam segi empat tali busur menyatakan bahwa jumlah besar sudut yang berhadapan adalah 180 derajat. Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran.

Misalkan ABCD adalah segi empat tali busur, dengan titik A, B, C, dan D terletak pada keliling lingkaran. Kita ingin membuktikan bahwa \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC = 180^{\circ}\) dan \(m\measuredangle BAD + m\measuredangle BCD = 180^{\circ}\).

Bukti:
1. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran yang sama.
2. Perhatikan sudut \(\measuredangle ABC\). Sudut ini adalah sudut keliling yang menghadap busur ADC.
3. Ukuran sudut keliling adalah setengah dari ukuran sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Jadi, \(m\measuredangle ABC = \frac{1}{2} m\measuredangle AOC_{minor}\), di mana \(m\measuredangle AOC_{minor}\) adalah sudut pusat yang menghadap busur kecil AC.
4. Perhatikan sudut \(\measuredangle ADC\). Sudut ini adalah sudut keliling yang menghadap busur ABC.
5. Jadi, \(m\measuredangle ADC = \frac{1}{2} m\measuredangle AOC_{major}\), di mana \(m\measuredangle AOC_{major}\) adalah sudut pusat yang menghadap busur besar AC.
6. Sudut pusat minor dan mayor yang menghadap busur yang sama jumlahnya adalah \(360^{\circ}\). Jadi, \(m\measuredangle AOC_{minor} + m\measuredangle AOC_{major} = 360^{\circ}\).
7. Sekarang, mari kita jumlahkan kedua sudut yang berhadapan: \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC\).
   \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC = \frac{1}{2} m\measuredangle AOC_{minor} + \frac{1}{2} m\measuredangle AOC_{major}\)
   \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC = \frac{1}{2} (m\measuredangle AOC_{minor} + m\measuredangle AOC_{major})\)
   \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC = \frac{1}{2} (360^{\circ})\)
   \(m\measuredangle ABC + m\measuredangle ADC = 180^{\circ}\).

Demikian pula, kita dapat membuktikan bahwa \(m\measuredangle BAD + m\measuredangle BCD = 180^{\circ}\) dengan mempertimbangkan sudut-sudut yang menghadap busur BCD dan BAD.

Jadi, terbukti bahwa jumlah besar sudut yang berhadapan dalam segi empat tali busur sama dengan 180 derajat.