Buktikan. (cos 3x - cos 5x)/(sin 3x - sin x) = 2 sin 2x

Identitas terbukti benar dengan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $(\cos 3x - \cos 5x) / (\sin 3x - \sin x) = 2 \sin 2x$, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan pada fungsi trigonometri.

Rumus yang relevan adalah:
1. $\cos A - \cos B = -2 \sin((A+B)/2) \sin((A-B)/2)$
2. $\sin A - \sin B = 2 \cos((A+B)/2) \sin((A-B)/2)$

Menerapkan rumus ini pada ruas kiri:
$-2 \sin((3x+5x)/2) \sin((3x-5x)/2) = -2 \sin(4x) \sin(-x)$

$-2 \cos((3x+5x)/2) \sin((3x-5x)/2) = -2 \cos(4x) \sin(-x)$

Sehingga ruas kiri menjadi:
$(-2 \sin(4x) \sin(-x)) / (-2 \cos(4x) \sin(-x))$

Karena $\sin(-x) = -\sin x$ dan $\cos(-x) = \cos x$, maka:
$(-2 \sin(4x) (-\sin x)) / (-2 \cos(4x) (-\sin x))$
$= (2 \sin(4x) \sin x) / (2 \cos(4x) \sin x)$

Mencoret $2 \sin x$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $\sin x \neq 0$):
$= \sin(4x) / \cos(4x)$
$= \tan(4x)$

*Tunggu, ada kesalahan dalam penerapan rumus atau soalnya. Mari kita coba lagi dengan identitas yang berbeda.* 

*Asumsi soal adalah membuktikan $(\cos 3x - \cos 5x)/(sin 3x + sin x) = -2 \sin 2x$ atau $(\cos 3x + \cos 5x)/(sin 3x + sin x) = \cot 2x$. Mari kita asumsikan soalnya benar dan cari kesalahan.* 

Mari kita gunakan identitas lain:
1. $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$
2. $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

$(\cos 3x - \cos 5x) = -2 \sin \frac{3x+5x}{2} \sin \frac{3x-5x}{2} = -2 \sin 4x \sin (-x) = 2 \sin 4x \sin x$

$(\sin 3x - \sin x) = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \sin x$

Sehingga ruas kiri menjadi:
$(2 \sin 4x \sin x) / (2 \cos 2x \sin x)$

Dengan asumsi $\sin x \neq 0$, kita bisa mencoret $\sin x$:
$\sin 4x / \cos 2x$

Menggunakan identitas $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$, maka $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:
$(2 \sin 2x \cos 2x) / \cos 2x$

Mencoret $\cos 2x$ (dengan asumsi $\cos 2x \neq 0$):
$2 \sin 2x$

Jadi, identitas $(\cos 3x - \cos 5x)/(sin 3x - sin x) = 2 \sin 2x$ terbukti benar.