Diketahui sistem persamaan: x+2y+3z=-1 -x+y+3z=4 2x-y-z=-4

Nilai dari 1/x + 1/y + 1/z adalah -1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini dan mencari nilai 1/x + 1/y + 1/z, kita perlu menemukan nilai x, y, dan z terlebih dahulu.

Sistem Persamaan:
1) x + 2y + 3z = -1
2) -x + y + 3z = 4
3) 2x - y - z = -4

Mari kita eliminasi salah satu variabel. Misalnya, kita eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):
(1) + (2): (x + 2y + 3z) + (-x + y + 3z) = -1 + 4
3y + 6z = 3
Bagi dengan 3: y + 2z = 1  (Persamaan 4)

Selanjutnya, eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). Kalikan persamaan (1) dengan 2:
2*(1): 2x + 4y + 6z = -2
(3):   2x - y - z = -4

Kurangkan (3) dari 2*(1):
(2x + 4y + 6z) - (2x - y - z) = -2 - (-4)
5y + 7z = 2  (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem persamaan baru dengan dua variabel (y dan z):
4) y + 2z = 1
5) 5y + 7z = 2

Dari Persamaan (4), kita bisa dapatkan y = 1 - 2z. Substitusikan ke Persamaan (5):
5(1 - 2z) + 7z = 2
5 - 10z + 7z = 2
5 - 3z = 2
-3z = 2 - 5
-3z = -3
z = 1

Sekarang substitusikan nilai z = 1 ke Persamaan (4) untuk mencari y:
y + 2(1) = 1
y + 2 = 1
y = 1 - 2
y = -1

Terakhir, substitusikan nilai y = -1 dan z = 1 ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1) untuk mencari x:
x + 2(-1) + 3(1) = -1
x - 2 + 3 = -1
x + 1 = -1
x = -1 - 1
x = -2

Jadi, kita dapatkan x = -2, y = -1, dan z = 1.

Sekarang kita hitung nilai dari 1/x + 1/y + 1/z:
1/x = 1/(-2) = -1/2
1/y = 1/(-1) = -1
1/z = 1/(1) = 1

1/x + 1/y + 1/z = -1/2 + (-1) + 1
= -1/2 - 1 + 1
= -1/2

Nilai dari 1/x + 1/y + 1/z adalah -1/2.