Buktikan cos^4 A-sin^4 A=1-2 sin^2 A.

cos^4 A - sin^4 A = (cos^2 A - sin^2 A)(cos^2 A + sin^2 A) = cos^2 A - sin^2 A = (1 - sin^2 A) - sin^2 A = 1 - 2 sin^2 A.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri cos^4 A - sin^4 A = 1 - 2 sin^2 A, kita akan mulai dari sisi kiri persamaan dan mengubahnya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi kiri: cos^4 A - sin^4 A

Kita dapat memfaktorkan ekspresi ini sebagai selisih dua kuadrat, di mana (cos^2 A)^2 adalah suku pertama dan (sin^2 A)^2 adalah suku kedua.

cos^4 A - sin^4 A = (cos^2 A)^2 - (sin^2 A)^2

Menggunakan rumus selisih kuadrat (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)), kita dapat menulis:

= (cos^2 A - sin^2 A)(cos^2 A + sin^2 A)

Kita tahu dari identitas Pythagoras dasar bahwa cos^2 A + sin^2 A = 1.

= (cos^2 A - sin^2 A)(1)
= cos^2 A - sin^2 A

Sekarang, kita perlu mengubah ekspresi ini agar sesuai dengan sisi kanan, yaitu 1 - 2 sin^2 A. Kita dapat menggunakan kembali identitas Pythagoras, cos^2 A + sin^2 A = 1, untuk mengganti cos^2 A.

Dari identitas tersebut, kita dapat menyatakan cos^2 A sebagai: cos^2 A = 1 - sin^2 A.

Substitusikan ini ke dalam ekspresi kita:

= (1 - sin^2 A) - sin^2 A

Sekarang, gabungkan suku-suku yang sejenis:

= 1 - sin^2 A - sin^2 A
= 1 - 2 sin^2 A

Ini sama dengan sisi kanan persamaan.

Jadi, kita telah membuktikan bahwa cos^4 A - sin^4 A = 1 - 2 sin^2 A.