Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 9Kelas 7Kelas 10Kelas 8mathTeori BilanganInduksi Matematika

Buktikan n(n+1)(n+2) habis dibagi dengan 6 untuk setiap

Pertanyaan

Buktikan bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n.

Solusi

Verified

Hasil kali tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 2 dan 3, sehingga habis dibagi 6.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau analisis sifat keterbagian. Cara pertama adalah dengan melihat bahwa hasil kali tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi oleh 2 dan 3. Pembagian oleh 2: Dalam setiap tiga bilangan asli berurutan (n, n+1, n+2), pasti ada setidaknya satu bilangan genap (habis dibagi 2). Jika n genap, maka n habis dibagi 2. Jika n ganjil, maka n+1 genap, sehingga n+1 habis dibagi 2. Pembagian oleh 3: Dalam setiap tiga bilangan asli berurutan, pasti ada tepat satu bilangan yang habis dibagi 3. Jika n habis dibagi 3, maka hasil kali habis dibagi 3. Jika n memberikan sisa 1 ketika dibagi 3 (n=3k+1), maka n+2 = 3k+1+2 = 3k+3 = 3(k+1), sehingga n+2 habis dibagi 3. Jika n memberikan sisa 2 ketika dibagi 3 (n=3k+2), maka n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 = 3(k+1), sehingga n+1 habis dibagi 3. Karena hasil kali n(n+1)(n+2) selalu habis dibagi 2 dan selalu habis dibagi 3, dan karena 2 dan 3 adalah bilangan prima relatif (FPB(2,3)=1), maka hasil kali tersebut pasti habis dibagi oleh hasil kali 2 dan 3, yaitu 6. Cara kedua dengan induksi matematika: Basis Induksi: Untuk n=1, 1(1+1)(1+2) = 1*2*3 = 6. 6 habis dibagi 6. Langkah Induksi: Asumsikan bahwa k(k+1)(k+2) habis dibagi 6 untuk suatu bilangan asli k. Kita perlu membuktikan bahwa (k+1)(k+2)(k+3) juga habis dibagi 6. (k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3 = k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2). Berdasarkan asumsi induksi, k(k+1)(k+2) habis dibagi 6. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 3(k+1)(k+2) habis dibagi 6. Kita tahu bahwa (k+1)(k+2) adalah hasil kali dua bilangan asli berurutan, sehingga salah satunya pasti genap. Oleh karena itu, (k+1)(k+2) habis dibagi 2. Dengan demikian, 3(k+1)(k+2) adalah hasil kali 3 dengan bilangan yang habis dibagi 2, yang berarti 3(k+1)(k+2) habis dibagi 6. Karena k(k+1)(k+2) habis dibagi 6 dan 3(k+1)(k+2) habis dibagi 6, maka jumlahnya, yaitu (k+1)(k+2)(k+3), juga habis dibagi 6. Dengan demikian, terbukti bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Induksi Matematika, Keterbagian
Section: Pembuktian Dengan Induksi, Sifat Keterbagian

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...