Buktikan pernyataan berikut.Jika n^2 tidak habis dibagi 3,

Gunakan kontrapositif: Jika n habis dibagi 3, maka n^2 habis dibagi 3.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan "Jika n^2 tidak habis dibagi 3, maka n tidak habis dibagi 3", kita dapat menggunakan metode pembuktian kontradiksi atau kontrapositif. 

Metode Kontrapositif:
Kontrapositif dari pernyataan "Jika P maka Q" adalah "Jika bukan Q maka bukan P".
Dalam kasus ini, P adalah "n^2 tidak habis dibagi 3" dan Q adalah "n tidak habis dibagi 3".
Kontrapositifnya adalah "Jika n habis dibagi 3, maka n^2 habis dibagi 3".

Pembuktian kontrapositif:
Asumsikan n habis dibagi 3. Ini berarti n dapat ditulis sebagai n = 3k, di mana k adalah bilangan bulat.
Kemudian, kuadratkan n:
n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2).
Karena 3k^2 adalah bilangan bulat, maka n^2 adalah kelipatan 3, yang berarti n^2 habis dibagi 3.
Karena kontrapositifnya benar, maka pernyataan asli "Jika n^2 tidak habis dibagi 3, maka n tidak habis dibagi 3" juga benar.

Metode Pembuktian Langsung (menggunakan sifat pembagian oleh 3):
Setiap bilangan bulat n ketika dibagi 3 akan memiliki sisa 0, 1, atau 2.
Kasus 1: n memiliki sisa 0 ketika dibagi 3. Ini berarti n = 3k untuk suatu bilangan bulat k. Maka n^2 = (3k)^2 = 9k^2, yang habis dibagi 3.
Kasus 2: n memiliki sisa 1 ketika dibagi 3. Ini berarti n = 3k + 1 untuk suatu bilangan bulat k. Maka n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1. n^2 memiliki sisa 1 ketika dibagi 3, sehingga tidak habis dibagi 3.
Kasus 3: n memiliki sisa 2 ketika dibagi 3. Ini berarti n = 3k + 2 untuk suatu bilangan bulat k. Maka n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1. n^2 memiliki sisa 1 ketika dibagi 3, sehingga tidak habis dibagi 3.

Hasil analisis menunjukkan bahwa jika n tidak habis dibagi 3 (kasus 2 dan 3), maka n^2 juga tidak habis dibagi 3. Sebaliknya, jika n habis dibagi 3 (kasus 1), maka n^2 habis dibagi 3. Ini membuktikan pernyataan asli.