C O A D B Pada gambar di samping, lingkaran yang berpusat

a. 2 cm, b. 3 cm, c. $\sqrt{13}$ cm

Pembahasan

Dalam segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, lingkaran dalam (incenter) menyinggung ketiga sisi segitiga. Jari-jari lingkaran dalam ($r$) pada segitiga siku-siku dapat dihitung dengan rumus:
$r = \frac{Luas}{s}$ 
atau untuk segitiga siku-siku secara khusus:
$r = \frac{a+b-c}{2}$, dimana a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah hipotenusa.

Diketahui:
AB = $c = 5$ cm
AC = $b = 12$ cm
BC = $a = 13$ cm
Karena $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di A.

a. Menghitung jari-jari lingkaran dalam ($r$):
$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ cm.

b. Menghitung panjang BD:
Misalkan titik singgung lingkaran dalam pada AB adalah F, pada AC adalah E, dan pada BC adalah D. Karena O adalah pusat lingkaran dalam, maka OF $\perp$ AB, OE $\perp$ AC, OD $\perp$ BC. Segiempat AFOE adalah persegi karena memiliki dua sudut siku-siku (di A dan di F/E karena jari-jari tegak lurus sisi) dan sisi AF = AE = OF = OE = r = 2 cm.

Panjang BD = $s - AC$, dimana $s$ adalah semiperimeter.
$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ cm.
$BD = s - AC = 15 - 12 = 3$ cm. 
Atau, karena sifat segitiga yang dibentuk oleh titik singgung, BD = BF. BF = AB - AF = AB - r = 5 - 2 = 3 cm.

c. Menghitung panjang OB:
Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku OFB (siku-siku di F).
OF = $r = 2$ cm.
BF = $BD = 3$ cm.
$OB^2 = OF^2 + BF^2$
$OB^2 = 2^2 + 3^2$
$OB^2 = 4 + 9$
$OB^2 = 13$
$OB = 
 \sqrt{13}$ cm.

Jadi:
a. Jari-jari lingkaran dalam adalah 2 cm.
b. Panjang BD adalah 3 cm.
c. Panjang OB adalah $\sqrt{13}$ cm.