Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1/log x - 1/(2 log

Nilai x yang memenuhi adalah \(0 < x < 1\) atau \(x > \sqrt{10}\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{1}{\log x} - \frac{1}{2 \log x - 1} < 1\), kita perlu memperhatikan beberapa hal:

1.  **Domain Logaritma:** Agar \(\log x\) terdefinisi, \(x > 0\). Selain itu, agar penyebut tidak nol, \(\log x \neq 0\) (sehingga \(x \neq 1\)) dan \(2 \log x - 1 \neq 0\) (sehingga \(\log x \neq \frac{1}{2}\), yang berarti \(x \neq \sqrt{10}\)).

2.  **Menyederhanakan Pertidaksamaan:**
    Kurangkan 1 dari kedua sisi:
    \(\frac{1}{\log x} - \frac{1}{2 \log x - 1} - 1 < 0\)

    Samakan penyebutnya:
    \(\frac{(2 \log x - 1) - \log x - (\log x)(2 \log x - 1)}{(\log x)(2 \log x - 1)} < 0\)

    Jabarkan pembilangnya:
    \(\frac{2 \log x - 1 - \log x - 2(\log x)^2 + \log x}{(\log x)(2 \log x - 1)} < 0\)

    Sederhanakan pembilangnya:
    \(\frac{-2(\log x)^2 + 2 \log x - 1}{(\log x)(2 \log x - 1)} < 0\)

3.  **Analisis Tanda:**
    Misalkan \(y = \log x\). Pertidaksamaan menjadi:
    \(\frac{-2y^2 + 2y - 1}{y(2y - 1)} < 0\)

    Perhatikan pembilang \(-2y^2 + 2y - 1\). Diskriminannya adalah \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-2)(-1) = 4 - 8 = -4\). Karena koefisien \(y^2\) negatif (-2) dan diskriminan negatif, maka \(-2y^2 + 2y - 1\) selalu bernilai negatif untuk semua \(y\).

    Karena pembilang selalu negatif, agar seluruh pecahan kurang dari nol, penyebutnya harus positif:
    \(y(2y - 1) > 0\)

    Ini terjadi ketika \(y < 0\) atau \(y > \frac{1}{2}\).

4.  **Kembali ke Variabel x:**
    *   Kasus 1: \(y < 0\)
        \(\log x < 0\)
        Karena basis logaritma (biasanya 10 jika tidak disebutkan) lebih dari 1, maka:
        \(x < 10^0\)
        \(x < 1\)

    *   Kasus 2: \(y > \frac{1}{2}\)
        \(\log x > \frac{1}{2}\)
        \(x > 10^{1/2}\)
        \(x > \sqrt{10}\)

5.  **Gabungkan dengan Domain:**
    Dari domain, kita tahu \(x > 0\), \(x \neq 1\), dan \(x \neq \sqrt{10}\).
    Dari penyederhanaan, kita mendapatkan \(x < 1\) atau \(x > \sqrt{10}\).

    Menggabungkan kedua kondisi ini:
    *   \(x > 0\) dan \(x < 1\) menghasilkan \(0 < x < 1\).
    *   \(x > \sqrt{10}\) sudah memenuhi \(x \neq 1\) dan \(x > 0\).

    Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(0 < x < 1\) atau \(x > \sqrt{10}\).