Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathAljabar

Carilah batasan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Pertanyaan

Carilah batasan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut. 2^x+2^(1/2x+2)<32

Solusi

Verified

Batasan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2^x+2^(1/2x+2)<32 adalah x < 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 2^x + 2^(1/2x + 2) < 32, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut. Misalkan y = 2^x. Maka pertidaksamaan menjadi y + 2^(1/2 * x * 2) < 32, yang setara dengan y + 2^(x/2) * 2^2 < 32 atau y + 4 * (2^x)^(1/2) < 32. Karena y = 2^x, maka (2^x)^(1/2) = y^(1/2) = akar(y). Sehingga pertidaksamaan menjadi: y + 4 * akar(y) < 32. Misalkan z = akar(y), maka y = z^2. Pertidaksamaan menjadi z^2 + 4z < 32. Pindahkan 32 ke sisi kiri: z^2 + 4z - 32 < 0. Faktorkan kuadratik: (z + 8)(z - 4) < 0. Ini memberikan dua kemungkinan kasus: Kasus 1: z + 8 > 0 dan z - 4 < 0, yang menghasilkan -8 < z < 4. Kasus 2: z + 8 < 0 dan z - 4 > 0, yang menghasilkan z < -8 atau z > 4. Kasus ini tidak mungkin karena z = akar(y) harus positif. Karena z = akar(y) dan y = 2^x, maka z harus positif. Jadi, kita ambil -8 < z < 4 dan gabungkan dengan z > 0, sehingga 0 < z < 4. Substitusikan kembali z = akar(y): 0 < akar(y) < 4. Kuadratkan semua bagian: 0 < y < 16. Substitusikan kembali y = 2^x: 0 < 2^x < 16. Karena 2^x selalu positif, kita hanya perlu menyelesaikan 2^x < 16. Karena 16 = 2^4, maka 2^x < 2^4. Karena basis (2) lebih besar dari 1, maka kita dapat menyimpulkan bahwa x < 4.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Eksponen Dan Logaritma
Section: Pertidaksamaan Eksponensial

Apakah jawaban ini membantu?
Carilah batasan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan - Saluranedukasi