Daerah yang dibatasi olch kurva y=x^2 dan y^2=8x diputar

Volume benda putar yang terjadi adalah 48π/5 satuan kubik.

Pembahasan

Untuk menghitung volume benda putar yang terjadi ketika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan y^2=8x diputar mengelilingi sumbu-x, kita perlu menentukan batas-batas integrasi dan menggunakan rumus volume benda putar.

Langkah 1: Cari titik potong kedua kurva.
Kurva 1: y = x^2
Kurva 2: y^2 = 8x
Substitusikan y dari kurva 1 ke kurva 2:
(x^2)^2 = 8x
x^4 = 8x
x^4 - 8x = 0
x(x^3 - 8) = 0
Ini memberikan x = 0 atau x^3 = 8, sehingga x = 2.

Ketika x = 0, y = 0^2 = 0. Titik potong pertama adalah (0,0).
Ketika x = 2, y = 2^2 = 4. Titik potong kedua adalah (2,4).

Langkah 2: Tentukan kurva mana yang berada di atas dalam interval [0, 2].
Ambil nilai x di antara 0 dan 2, misalnya x = 1.
Untuk y = x^2, y = 1^2 = 1.
Untuk y^2 = 8x, y = sqrt(8x) = sqrt(8*1) = sqrt(8) ≈ 2.83.
Jadi, kurva y^2 = 8x (atau y = sqrt(8x)) berada di atas kurva y = x^2 dalam interval [0, 2].

Langkah 3: Gunakan rumus volume benda putar mengelilingi sumbu-x.
Rumusnya adalah V = π ∫[a, b] (R(x)^2 - r(x)^2) dx, di mana R(x) adalah fungsi terluar dan r(x) adalah fungsi terdalam.
Dalam kasus ini, R(x) = sqrt(8x) dan r(x) = x^2, dengan batas integrasi a = 0 dan b = 2.

V = π ∫[0, 2] ((sqrt(8x))^2 - (x^2)^2) dx
V = π ∫[0, 2] (8x - x^4) dx

V = π [4x^2 - (x^5)/5] evaluated from 0 to 2
V = π [(4(2)^2 - (2^5)/5) - (4(0)^2 - (0^5)/5)]
V = π [(4*4 - 32/5) - 0]
V = π [16 - 32/5]
Untuk menghitung 16 - 32/5, samakan penyebutnya:
16 = 80/5
V = π [80/5 - 32/5]
V = π [48/5]

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 48π/5 satuan kubik.