Dalam sebuah pertemuan internasional, 11 orang peserta

Banyak cara mengatur peserta duduk melingkar sehingga peserta dari negara yang sama duduk berdekatan adalah 3456 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi siklik dengan pengelompokan. Pertama, kita kelompokkan peserta berdasarkan negara asal.

Jumlah peserta:
Amerika: 3
Irlandia: 2
Korea: 4
Filipina: 2

Total peserta = 3 + 2 + 4 + 2 = 11 orang.

Karena peserta dari negara yang sama harus duduk berdekatan, kita anggap setiap kelompok negara sebagai satu 'blok'. Jadi, kita memiliki 4 blok: Amerika (A), Irlandia (I), Korea (K), Filipina (P).

1.  **Mengatur blok negara secara melingkar:**
    Jumlah cara mengatur $n$ objek berbeda secara melingkar adalah $(n-1)!$. Di sini kita memiliki 4 blok negara, jadi jumlah cara mengatur blok-blok ini adalah $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ cara.

2.  **Mengatur peserta di dalam setiap blok:**
    *   Peserta Amerika (3 orang): Dapat diatur di dalam blok mereka dalam $3!$ cara.
    *   Peserta Irlandia (2 orang): Dapat diatur di dalam blok mereka dalam $2!$ cara.
    *   Peserta Korea (4 orang): Dapat diatur di dalam blok mereka dalam $4!$ cara.
    *   Peserta Filipina (2 orang): Dapat diatur di dalam blok mereka dalam $2!$ cara.

3.  **Menghitung total cara:**
    Total cara adalah hasil perkalian dari cara mengatur blok secara melingkar dan cara mengatur peserta di dalam masing-masing blok.

    Total cara = (Cara mengatur blok) $\times$ (Cara mengatur Amerika) $\times$ (Cara mengatur Irlandia) $\times$ (Cara mengatur Korea) $\times$ (Cara mengatur Filipina)

    Total cara = $3! \times 3! \times 2! \times 4! \times 2!$

    Hitung faktorialnya:
    $3! = 6$
    $2! = 2$
    $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

    Total cara = $6 \times 6 \times 2 \times 24 \times 2$

    Total cara = $36 \times 2 \times 24 \times 2$

    Total cara = $72 \times 48$

    $72 \times 48 = (70 + 2) \times (50 - 2) = 3500 - 140 + 100 - 4 = 3456$
    Atau
    $72 	imes 48 = 72 	imes (50 - 2) = 3600 - 144 = 3456$

    Jadi, banyak cara mengatur mereka duduk melingkar sehingga peserta berasal dari negara yang sama duduk berdekatan adalah 3456 cara.