Dari angka-angka 0,1,2,4,5,6,7 , dan 9 akan disusun

a. 210 bilangan, b. 510 bilangan

Pembahasan

Untuk menentukan banyak bilangan yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 9 dengan ketentuan tertentu, kita perlu menggunakan prinsip permutasi dan kombinasi dengan memperhatikan syarat yang diberikan.

a. Bilangan ribuan yang habis dibagi 10 dan angka tidak berulang:
Syarat habis dibagi 10 berarti angka terakhir (satuan) harus 0. Karena angka tidak boleh berulang, maka kita perlu mengatur angka-angka yang tersisa untuk posisi ribuan, ratusan, dan puluhan.
- Posisi satuan: Hanya bisa diisi oleh angka 0 (1 pilihan).
- Posisi ribuan: Dapat diisi oleh angka selain 0 dan angka yang sudah dipakai di satuan (tersisa 7 pilihan).
- Posisi ratusan: Dapat diisi oleh sisa angka yang belum terpakai (tersisa 6 pilihan).
- Posisi puluhan: Dapat diisi oleh sisa angka yang belum terpakai (tersisa 5 pilihan).
Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun adalah 7 × 6 × 5 × 1 = 210 bilangan.

b. Bilangan genap dan kurang dari 6.000 dengan angka tidak berulang:
Syarat bilangan genap berarti angka terakhir (satuan) harus genap (0, 2, 4, 6). Syarat kurang dari 6.000 berarti angka ribuan bisa 1, 2, 4, 5. Kita perlu memecah kasus berdasarkan angka satuan dan ribuan untuk menghindari perhitungan ganda dan memastikan tidak ada pengulangan angka.

Kasus 1: Angka satuan adalah 0.
- Satuan: 0 (1 pilihan).
- Ribuan: Bisa diisi 1, 2, 4, 5, 6, 7 (6 pilihan).
- Ratusan: Sisa 6 angka (6 pilihan).
- Puluhan: Sisa 5 angka (5 pilihan).
Total kasus 1: 6 × 6 × 5 × 1 = 180 bilangan.

Kasus 2: Angka satuan adalah 2, 4, atau 6.
- Satuan: Bisa diisi 2, 4, atau 6 (3 pilihan).
- Ribuan: Tidak boleh 0, tidak boleh angka satuan, dan harus kurang dari 6. Jika angka satuan adalah 2 atau 4, maka ribuan bisa 1, 5, 6, 7 (jika satuan 2) atau 1, 2, 5, 6, 7 (jika satuan 4), dan harus kurang dari 6. Ini menjadi rumit karena angka ribuan tidak boleh 0 dan harus kurang dari 6. Mari kita perbaiki pendekatan.

Pendekatan yang lebih baik:
Kita susun dari angka ribuan terlebih dahulu, karena ada batasan < 6000.
Angka ribuan bisa 1, 2, 4, 5.

Sub-kasus 1: Angka ribuan adalah 1, 2, 4, 5 (4 pilihan).
- Satuan: Harus genap (0, 2, 4, 6) dan tidak boleh sama dengan ribuan. Jika ribuan adalah 1, maka satuan bisa 0, 2, 4, 6 (4 pilihan). Jika ribuan adalah 2, maka satuan bisa 0, 4, 6 (3 pilihan). Jika ribuan adalah 4, maka satuan bisa 0, 2, 6 (3 pilihan). Jika ribuan adalah 5, maka satuan bisa 0, 2, 4, 6 (4 pilihan). Ini masih rumit.

Mari kita gunakan pendekatan berdasarkan angka satuan genap terlebih dahulu:

Jika satuan adalah 0:
- Satuan: 1 pilihan (0).
- Ribuan: 7 pilihan (1, 2, 4, 5, 6, 7).
- Ratusan: 6 pilihan.
- Puluhan: 5 pilihan.
Total: 7 * 6 * 5 * 1 = 210 bilangan.

Jika satuan adalah 2, 4, atau 6 (3 pilihan):
- Ribuan: Tidak boleh 0 dan tidak boleh sama dengan satuan. Angka ribuan juga harus < 6. Jadi ribuan bisa 1, 2, 4, 5. Namun, jika satuan adalah 2, maka ribuan tidak bisa 2. Jika satuan adalah 4, maka ribuan tidak bisa 4.

Mari kita pecah berdasarkan angka ribuan:

Kasus A: Angka ribuan adalah 1, 2, 4, 5 (kurang dari 6000).
   - Jika ribuan = 1 (1 pilihan):
     - Satuan: genap (0, 2, 4, 6) - 4 pilihan.
     - Ratusan: sisa 6 angka - 6 pilihan.
     - Puluhan: sisa 5 angka - 5 pilihan.
     Total: 1 * 4 * 6 * 5 = 120.
   - Jika ribuan = 2 (1 pilihan):
     - Satuan: genap (0, 4, 6) - 3 pilihan.
     - Ratusan: sisa 6 angka - 6 pilihan.
     - Puluhan: sisa 5 angka - 5 pilihan.
     Total: 1 * 3 * 6 * 5 = 90.
   - Jika ribuan = 4 (1 pilihan):
     - Satuan: genap (0, 2, 6) - 3 pilihan.
     - Ratusan: sisa 6 angka - 6 pilihan.
     - Puluhan: sisa 5 angka - 5 pilihan.
     Total: 1 * 3 * 6 * 5 = 90.
   - Jika ribuan = 5 (1 pilihan):
     - Satuan: genap (0, 2, 4, 6) - 4 pilihan.
     - Ratusan: sisa 6 angka - 6 pilihan.
     - Puluhan: sisa 5 angka - 5 pilihan.
     Total: 1 * 4 * 6 * 5 = 120.
Total Kasus A: 120 + 90 + 90 + 120 = 420 bilangan.

Total bilangan genap dan kurang dari 6000 adalah hasil dari Kasus 1 (satuan 0) + Kasus A (ribuan < 6 dan satuan genap).

Perlu diperhatikan bahwa angka 0 termasuk dalam angka yang tersedia, dan ketika digunakan sebagai satuan, ia tidak membatasi pilihan angka ribuan kecuali bahwa ia tidak bisa diulang. Ketika 0 adalah satuan, angka ribuan bisa 1, 2, 4, 5, 6, 7. Jika angka ribuan < 6, maka ribuan bisa 1, 2, 4, 5. Maka angka yang tersedia adalah 0,1,2,4,5,6,7,9.

Mari kita kembali ke soal b. bilangan genap dan kurang dari 6.000, angka tidak berulang.

Angka yang tersedia: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9} (8 angka).
Bilangan ribuan:

Kasus 1: Satuan adalah 0.
- Satuan: 1 (yaitu 0).
- Ribuan: 7 pilihan (1, 2, 4, 5, 6, 7, 9).
- Ratusan: 6 pilihan.
- Puluhan: 5 pilihan.
Jumlah: 7 * 6 * 5 * 1 = 210.

Kasus 2: Satuan adalah 2, 4, atau 6 (3 pilihan).
- Ribuan: Harus kurang dari 6 (yaitu 1, 2, 4, 5) DAN tidak boleh sama dengan satuan, DAN tidak boleh 0.
  - Jika satuan = 2 (1 pilihan):
    - Ribuan: {1, 4, 5} (3 pilihan).
    - Ratusan: Sisa 6 angka (termasuk 0) - 6 pilihan.
    - Puluhan: Sisa 5 angka - 5 pilihan.
    Jumlah: 3 * 6 * 5 * 1 = 90.
  - Jika satuan = 4 (1 pilihan):
    - Ribuan: {1, 2, 5} (3 pilihan).
    - Ratusan: Sisa 6 angka - 6 pilihan.
    - Puluhan: Sisa 5 angka - 5 pilihan.
    Jumlah: 3 * 6 * 5 * 1 = 90.
  - Jika satuan = 6 (1 pilihan):
    - Ribuan: {1, 2, 4, 5} (4 pilihan).
    - Ratusan: Sisa 6 angka - 6 pilihan.
    - Puluhan: Sisa 5 angka - 5 pilihan.
    Jumlah: 4 * 6 * 5 * 1 = 120.

Total Kasus 2: 90 + 90 + 120 = 300.

Total bilangan genap dan kurang dari 6000 = Kasus 1 + Kasus 2 = 210 + 300 = 510 bilangan.

Kesimpulan:
a. Banyak bilangan yang dapat disusun jika bilangan tersebut merupakan bilangan yang habis dibagi 10 dan angka tidak berulang adalah 210.
b. Banyak bilangan yang dapat disusun jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap dan kurang dari 6.000 dengan angka tidak berulang adalah 510.