Dari fungsi f:R -> R di bawah ini, manakah yang merupakan

f(x)=2x adalah bijektif. Fungsi lain tidak bijektif pada domain R.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah fungsi-fungsi tersebut injektif, onto, atau bijektif, kita perlu menganalisis sifat masing-masing fungsi.

Definisi:
- Injektif (satu-satu): Jika f(a) = f(b), maka a = b.
- Onto (pada): Untuk setiap y di kodomain, terdapat setidaknya satu x di domain sehingga f(x) = y.
- Bijektif: Fungsi yang injektif dan onto.

Domain dan Kodomain adalah R (bilangan real).

a. f(x) = 2x
   - Injektif: Jika 2a = 2b, maka a = b. Ya, injektif.
   - Onto: Untuk setiap y di R, apakah ada x sehingga 2x = y? Ya, x = y/2. Ya, onto.
   - Bijektif: Ya.

b. f(x) = 2^x
   - Injektif: Jika 2^a = 2^b, maka a = b. Ya, injektif.
   - Onto: Range dari 2^x adalah (0, ∞). Kodomainnya R. Karena tidak semua y di R dapat dicapai oleh 2^x (misalnya y = -1), maka tidak onto.
   - Bijektif: Tidak.

c. f(x) = x^2
   - Injektif: f(-2) = 4, f(2) = 4. Karena f(-2) = f(2) tetapi -2 ≠ 2, maka tidak injektif.
   - Onto: Range dari x^2 adalah [0, ∞). Kodomainnya R. Karena tidak semua y di R dapat dicapai oleh x^2 (misalnya y = -1), maka tidak onto.
   - Bijektif: Tidak.

d. f(x) = 2 log x (Asumsikan logaritma natural atau basis 10, dengan domain (0, ∞) agar terdefinisi di R. Jika domain R, maka tidak terdefinisi untuk x <= 0)
   Jika domain R, maka tidak terdefinisi dengan baik.
   Jika kita asumsikan domain R+ (bilangan real positif):
   - Injektif: Jika 2 log a = 2 log b, maka log a = log b, sehingga a = b. Ya, injektif.
   - Onto: Range dari 2 log x (untuk logaritma apapun dengan basis > 1) adalah R. Ya, onto.
   - Bijektif: Ya.
   Namun, jika domainnya R seperti yang dinyatakan, maka fungsi ini tidak terdefinisi untuk semua R.

e. f(x) = |x|
   - Injektif: f(-2) = 2, f(2) = 2. Tidak injektif.
   - Onto: Range dari |x| adalah [0, ∞). Kodomainnya R. Tidak onto.
   - Bijektif: Tidak.

f. f(x) = sqrt(x) (Asumsikan domain R+, karena akar dari bilangan negatif tidak real)
   Jika domain R, maka tidak terdefinisi untuk x < 0.
   Jika kita asumsikan domain R+:
   - Injektif: Jika sqrt(a) = sqrt(b), maka a = b. Ya, injektif.
   - Onto: Range dari sqrt(x) adalah [0, ∞). Kodomainnya R. Tidak onto.
   - Bijektif: Tidak.
   Namun, jika domainnya R seperti yang dinyatakan, maka fungsi ini tidak terdefinisi untuk semua R.

Kesimpulan berdasarkan domain R:
Hanya f(x) = 2x yang memenuhi syarat injektif dan onto (bijektif) untuk domain dan kodomain R.