Dari selembar kartonberbentuk persegi panjang dengan ukuran

Luas alas minimum yang bisa dicapai secara fisik adalah 0.

Pembahasan

Diberikan selembar karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran a x b. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dengan memotong keempat sudutnya dengan persegi bersisi x. Setelah dipotong, sisi-sisi karton dilipat ke atas untuk membentuk kotak.

Dimensi alas kotak akan menjadi:
Panjang alas = panjang karton awal - 2x (karena dipotong x dari kedua sisi) = a - 2x
Lebar alas = lebar karton awal - 2x (karena dipotong x dari kedua sisi) = b - 2x

Luas alas kotak adalah hasil perkalian panjang alas dan lebar alas:
Luas Alas (L) = (a - 2x)(b - 2x)
L = ab - 2ax - 2bx + 4x^2
L = 4x^2 - 2(a+b)x + ab

Untuk mencari luas alas minimum, kita perlu mencari nilai x yang meminimalkan fungsi kuadrat L(x). Fungsi ini berbentuk parabola terbuka ke atas (karena koefisien x^2 positif, yaitu 4).
Nilai minimum dari fungsi kuadrat f(x) = px^2 + qx + r terjadi pada x = -q / (2p).
Dalam kasus ini, p = 4, q = -2(a+b), dan r = ab.

Jadi, nilai x yang memberikan luas alas minimum adalah:
x = -(-2(a+b)) / (2 * 4)
x = 2(a+b) / 8
x = (a+b) / 4

Namun, ada batasan untuk nilai x. Agar potongan persegi dapat dibuat dan alas terbentuk, panjang sisi x harus positif dan tidak lebih dari setengah dari sisi yang lebih pendek dari karton. Jadi, 0 < x < min(a/2, b/2).

Dengan nilai x = (a+b)/4, kita substitusikan kembali ke rumus Luas Alas:
L_min = 4 * [ (a+b)/4 ]^2 - 2(a+b) * [ (a+b)/4 ] + ab
L_min = 4 * [ (a^2 + 2ab + b^2) / 16 ] - 2(a+b)^2 / 4 + ab
L_min = (a^2 + 2ab + b^2) / 4 - (a^2 + 2ab + b^2) / 2 + ab
Untuk menyederhanakan, samakan penyebutnya menjadi 4:
L_min = (a^2 + 2ab + b^2) / 4 - 2(a^2 + 2ab + b^2) / 4 + 4ab / 4
L_min = (a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 4ab - 2b^2 + 4ab) / 4
L_min = (-a^2 + 2ab - b^2) / 4
L_min = -(a^2 - 2ab + b^2) / 4
L_min = -(a-b)^2 / 4

Hasil ini (luas negatif) menunjukkan ada kekeliruan dalam asumsi bahwa minimum terjadi pada nilai x tersebut tanpa mempertimbangkan batas domain x. Sebenarnya, luas alas L(x) = 4x^2 - 2(a+b)x + ab adalah sebuah fungsi kuadrat. Karena kita ingin mencari luas alas minimum, ini berarti kita mencari nilai minimum dari fungsi kuadrat tersebut.

Nilai x yang membuat turunan pertama nol adalah x = (a+b)/4. Jika nilai x ini berada dalam domain yang valid (0 < x < min(a/2, b/2)), maka luas minimum terjadi pada x tersebut. Jika tidak, luas minimum terjadi pada batas domain yang valid.

Namun, soal ini menanyakan "Luas alas minimum kotak itu adalah....". Fungsi luas alas L(x) = (a-2x)(b-2x) akan selalu positif selama a-2x > 0 dan b-2x > 0. Nilai minimum dari luas alas justru terjadi ketika salah satu dimensi alas mendekati nol, yaitu ketika x mendekati nilai maksimum yang diizinkan (min(a/2, b/2)).

Jika kita asumsikan bahwa soal ini bertanya tentang ekspresi luas alas dalam variabel x, maka jawabannya adalah L(x) = (a - 2x)(b - 2x).

Namun, jika interpretasinya adalah mencari nilai minimum dari fungsi kuadrat L(x) = 4x^2 - 2(a+b)x + ab tanpa memperhatikan kendala fisik x yang membuat luas alas menjadi nol atau negatif, maka nilai minimum fungsi kuadrat adalah -(a-b)^2 / 4, yang tidak masuk akal sebagai luas.

Mari kita periksa ulang maksud soal. Pembuatan kotak dengan memotong sudut persegi x berarti 2x harus lebih kecil dari sisi karton, yaitu 2x < a dan 2x < b. Sehingga x < a/2 dan x < b/2. Nilai x yang membuat luas alas minimum secara matematis dari fungsi kuadrat adalah x = (a+b)/4. Substitusi nilai ini menghasilkan luas -(a-b)^2/4, yang tidak realistis.

Kemungkinan interpretasi lain adalah mencari ekspresi luas alas itu sendiri, atau ada nilai spesifik a dan b yang tidak diberikan.

Jika soal ini mengacu pada nilai minimum dari fungsi kuadrat di puncak parabola, maka ekspresinya adalah -(a-b)^2 / 4. Tetapi ini tidak masuk akal secara fisik.

Jika pertanyaan ini adalah tentang luas alas minimal yang mungkin dibentuk (dimana x harus valid), maka luas alas minimal akan mendekati nol ketika x mendekati batas atasnya (min(a/2, b/2)).

Mari kita asumsikan soal ini ingin mencari ekspresi luas alas yang paling umum.
Luas alas = (a-2x)(b-2x) = ab - 2ax - 2bx + 4x^2.

Jika soal ini dimaksudkan untuk mencari nilai x yang membuat luas alas menjadi minimum dari fungsi kuadrat, nilai minimumnya adalah di x=(a+b)/4. Substitusi kembali ke Luas Alas: (a-2((a+b)/4))(b-2((a+b)/4)) = (a-(a+b)/2)(b-(a+b)/2) = ((2a-a-b)/2)((2b-a-b)/2) = ((a-b)/2)((b-a)/2) = -(a-b)^2/4. Hasil ini secara matematis adalah nilai minimum dari fungsi kuadrat tersebut, namun tidak secara fisik.

Dalam konteks soal fisika atau optimasi, luas alas minimum terjadi ketika x adalah nilai yang membuat salah satu dimensi alas menjadi nol atau mendekati nol, yaitu ketika x mendekati min(a/2, b/2). Dalam kasus ini, luas alas akan mendekati nol.

Namun, jika kita menginterpretasikan 'luas alas minimum' sebagai nilai terkecil yang bisa dicapai oleh fungsi luas alas L(x) = 4x^2 - 2(a+b)x + ab pada domain yang valid 0 < x < min(a/2, b/2), maka luas minimum akan terjadi di batas domain. Jika a=b, maka x=a/2, dan luas alas menjadi 0. Jika a!=b, misal a>b, maka batasnya adalah x=b/2. Luas alas menjadi (a-b)(b-b) = 0. Jadi luas alas minimum yang bisa dicapai secara fisik adalah 0.