Dari sistem persamaan 5log x+5log y= 5 dan

Nilai x + y adalah 150.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan logaritma ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma.

Persamaan 1: 5log x + 5log y = 5
Menggunakan sifat logaritma log a + log b = log (a*b), kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi:
5log (x*y) = 5
Ini berarti x*y = 5^5 = 3125.

Persamaan 2: 5log (x^3) - 5log (y^4) = 1
Menggunakan sifat logaritma log a - log b = log (a/b) dan log a^n = n*log a, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi:
5log (x^3 / y^4) = 1
Ini berarti x^3 / y^4 = 5^1 = 5.

Sekarang kita memiliki dua persamaan baru:
1) x*y = 3125
2) x^3 / y^4 = 5

Dari persamaan 1, kita bisa mendapatkan y = 3125 / x. Substitusikan nilai y ini ke persamaan 2:
x^3 / (3125 / x)^4 = 5
x^3 / (3125^4 / x^4) = 5
x^3 * x^4 / 3125^4 = 5
x^7 / 3125^4 = 5
x^7 = 5 * 3125^4
Karena 3125 = 5^5, maka:
x^7 = 5 * (5^5)^4
x^7 = 5 * 5^20
x^7 = 5^21

Ini sepertinya menghasilkan nilai x yang tidak bulat. Mari kita periksa kembali soal atau asumsi yang digunakan.

Jika kita berasumsi soalnya adalah ^5log x + ^5log y = 5 dan ^5log x^3 - ^5log y^4 = 1 (menggunakan basis 5 untuk kedua logaritma):

Dari ^5log x + ^5log y = 5  =>  ^5log(xy) = 5  =>  xy = 5^5 = 3125
Dari ^5log x^3 - ^5log y^4 = 1  =>  ^5log(x^3/y^4) = 1  =>  x^3/y^4 = 5^1 = 5

Dari xy = 3125, maka y = 3125/x.
Substitusi ke persamaan kedua:
x^3 / (3125/x)^4 = 5
x^3 / (3125^4 / x^4) = 5
x^7 / 3125^4 = 5
x^7 = 5 * 3125^4
Karena 3125 = 5^5:
x^7 = 5 * (5^5)^4
x^7 = 5 * 5^20
x^7 = 5^21
x = (5^21)^(1/7)
x = 5^3 = 125

Sekarang cari nilai y:
y = 3125 / x = 3125 / 125
y = 25

Verifikasi dengan persamaan kedua:
^5log(125^3) - ^5log(25^4) = ^5log((5^3)^3) - ^5log((5^2)^4)
= ^5log(5^9) - ^5log(5^8)
= 9 - 8 = 1. (Cocok)

Maka, nilai x + y adalah:
x + y = 125 + 25 = 150.