Kelas 11mathProgram Linear
Dari sistem pertidaksamaan x+y>=4 x+2y>=6 y-x<=4 x<=4
Pertanyaan
Dari sistem pertidaksamaan x+y>=4, x+2y>=6, y-x<=4, x<=4 Tentukan titik optimum, yaitu titik yang memberikan nilai minimum fungsi objektif f(x, y)=2x+y.
Solusi
Verified
Titik optimum minimum adalah (0, 4) dengan nilai f(x,y) = 4.
Pembahasan
Untuk menentukan titik optimum (nilai minimum) dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + y dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut. Sistem pertidaksamaan: 1. x + y >= 4 2. x + 2y >= 6 3. y - x <= 4 => y <= x + 4 4. x <= 4 Langkah-langkahnya adalah: 1. **Gambar Daerah Penyelesaian:** Plot setiap garis dari pertidaksamaan tersebut dan tentukan daerah yang memenuhi semua kondisi. * Garis 1: x + y = 4 (memotong sumbu x di 4, sumbu y di 4) * Garis 2: x + 2y = 6 (memotong sumbu x di 6, sumbu y di 3) * Garis 3: y = x + 4 (memotong sumbu y di 4, gradien 1) * Garis 4: x = 4 (garis vertikal) 2. **Cari Titik-titik Pojok:** Titik-titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas tersebut yang berada di dalam atau pada batas daerah penyelesaian. * Perpotongan x + y = 4 dan x + 2y = 6: (x + 2y) - (x + y) = 6 - 4 => y = 2 x + 2 = 4 => x = 2 Titik: (2, 2) * Perpotongan x + 2y = 6 dan x = 4: 4 + 2y = 6 => 2y = 2 => y = 1 Titik: (4, 1) * Perpotongan x + y = 4 dan x = 4: 4 + y = 4 => y = 0 Titik: (4, 0) * Perpotongan y - x = 4 (atau y = x + 4) dan x = 4: y = 4 + 4 => y = 8 Titik: (4, 8) * Perpotongan x + y = 4 dan y - x = 4: (x + y) + (y - x) = 4 + 4 => 2y = 8 => y = 4 x + 4 = 4 => x = 0 Titik: (0, 4) 3. **Uji Titik Pojok pada Fungsi Objektif f(x, y) = 2x + y:** * f(2, 2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 * f(4, 1) = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 * f(4, 0) = 2(4) + 0 = 8 + 0 = 8 * f(4, 8) = 2(4) + 8 = 8 + 8 = 16 * f(0, 4) = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4 4. **Tentukan Nilai Minimum:** Nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + y adalah nilai terkecil yang diperoleh dari pengujian titik-titik pojok. Dalam kasus ini, nilai minimumnya adalah 4, yang terjadi pada titik (0, 4). *Penting: Perlu dipastikan kembali bahwa titik-titik pojok yang dihitung memang berada dalam daerah penyelesaian yang valid berdasarkan semua pertidaksamaan, terutama pertidaksamaan y - x <= 4 dan x <= 4.* Berdasarkan perhitungan di atas, titik optimum yang memberikan nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 2x + y adalah (0, 4) dengan nilai minimum 4.
Topik: Nilai Optimum Fungsi Objektif
Section: Menentukan Nilai Optimum
Apakah jawaban ini membantu?