Dari sistem pertidaksamaan x+y>=4 x+2y>=6 y-x<=4 x<=4

Titik optimum minimum adalah (0, 4) dengan nilai f(x,y) = 4.

Pembahasan

Untuk menentukan titik optimum (nilai minimum) dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + y dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut.

Sistem pertidaksamaan:
1. x + y >= 4
2. x + 2y >= 6
3. y - x <= 4  => y <= x + 4
4. x <= 4

Langkah-langkahnya adalah:
1.  **Gambar Daerah Penyelesaian:** Plot setiap garis dari pertidaksamaan tersebut dan tentukan daerah yang memenuhi semua kondisi.
    *   Garis 1: x + y = 4 (memotong sumbu x di 4, sumbu y di 4)
    *   Garis 2: x + 2y = 6 (memotong sumbu x di 6, sumbu y di 3)
    *   Garis 3: y = x + 4 (memotong sumbu y di 4, gradien 1)
    *   Garis 4: x = 4 (garis vertikal)

2.  **Cari Titik-titik Pojok:** Titik-titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas tersebut yang berada di dalam atau pada batas daerah penyelesaian.
    *   Perpotongan x + y = 4 dan x + 2y = 6:
        (x + 2y) - (x + y) = 6 - 4 => y = 2
        x + 2 = 4 => x = 2
        Titik: (2, 2)

    *   Perpotongan x + 2y = 6 dan x = 4:
        4 + 2y = 6 => 2y = 2 => y = 1
        Titik: (4, 1)

    *   Perpotongan x + y = 4 dan x = 4:
        4 + y = 4 => y = 0
        Titik: (4, 0)

    *   Perpotongan y - x = 4 (atau y = x + 4) dan x = 4:
        y = 4 + 4 => y = 8
        Titik: (4, 8)

    *   Perpotongan x + y = 4 dan y - x = 4:
        (x + y) + (y - x) = 4 + 4 => 2y = 8 => y = 4
        x + 4 = 4 => x = 0
        Titik: (0, 4)

3.  **Uji Titik Pojok pada Fungsi Objektif f(x, y) = 2x + y:**
    *   f(2, 2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6
    *   f(4, 1) = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9
    *   f(4, 0) = 2(4) + 0 = 8 + 0 = 8
    *   f(4, 8) = 2(4) + 8 = 8 + 8 = 16
    *   f(0, 4) = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4

4.  **Tentukan Nilai Minimum:** Nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + y adalah nilai terkecil yang diperoleh dari pengujian titik-titik pojok. Dalam kasus ini, nilai minimumnya adalah 4, yang terjadi pada titik (0, 4).

*Penting: Perlu dipastikan kembali bahwa titik-titik pojok yang dihitung memang berada dalam daerah penyelesaian yang valid berdasarkan semua pertidaksamaan, terutama pertidaksamaan y - x <= 4 dan x <= 4.*

Berdasarkan perhitungan di atas, titik optimum yang memberikan nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 2x + y adalah (0, 4) dengan nilai minimum 4.