Diberikan dua buah lingkaran L1 ekuivalen (x-3)^2+y^2=16

Kedua lingkaran berpotongan. Persamaan tali busurnya adalah y=x. Titik potongnya adalah ( (3+sqrt(23))/2, (3+sqrt(23))/2 ) dan ( (3-sqrt(23))/2, (3-sqrt(23))/2 ).

Pembahasan

Diberikan dua lingkaran:
L1: $(x-3)^2 + y^2 = 16$
L2: $x^2 + (y-3)^2 = 16$

**1. Menentukan Hubungan Kedua Lingkaran:**
Untuk L1:
Pusat lingkaran $C_1 = (3, 0)$
Jari-jari lingkaran $r_1 = \sqrt{16} = 4$

Untuk L2:
Pusat lingkaran $C_2 = (0, 3)$
Jari-jari lingkaran $r_2 = \sqrt{16} = 4$

Jarak antara kedua pusat lingkaran ($d$) dihitung menggunakan rumus jarak antara dua titik:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$d = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$
$d = \sqrt{9 + 9}$
$d = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Bandingkan jarak antar pusat ($d$) dengan jumlah dan selisih jari-jari:
Jumlah jari-jari: $r_1 + r_2 = 4 + 4 = 8$
Selisih jari-jari: $|r_1 - r_2| = |4 - 4| = 0$

Karena $0 < d < r_1 + r_2$ (yaitu, $0 < 3\sqrt{2} < 8$), kedua lingkaran berpotongan di dua titik yang berbeda.

**2. Menentukan Persamaan Tali Busur:**
Persamaan tali busur persekutuan dari dua lingkaran yang berpotongan dapat diperoleh dengan mengurangkan persamaan satu lingkaran dari lingkaran lainnya: $L_1 - L_2 = 0$.

Uraikan persamaan L1:
$(x-3)^2 + y^2 = 16$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 16$
$x^2 + y^2 - 6x - 7 = 0$ (Persamaan 1)

Uraikan persamaan L2:
$x^2 + (y-3)^2 = 16$
$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16$
$x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(x^2 + y^2 - 6x - 7) - (x^2 + y^2 - 6y - 7) = 0$
$x^2 + y^2 - 6x - 7 - x^2 - y^2 + 6y + 7 = 0$
$-6x + 6y = 0$
$6y = 6x$
$y = x$

Jadi, persamaan tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah $y = x$.

**3. Menentukan Titik Potongnya:**
Untuk menemukan titik potong, substitusikan persamaan tali busur ($y=x$) ke salah satu persamaan lingkaran. Mari kita gunakan L1:
$(x-3)^2 + y^2 = 16$
Substitusikan $y=x$:
$(x-3)^2 + x^2 = 16$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 = 16$
$2x^2 - 6x + 9 - 16 = 0$
$2x^2 - 6x - 7 = 0$

Gunakan rumus kuadrat ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$) untuk mencari nilai x:
$a = 2, b = -6, c = -7$
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 56}}{4}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{4}$
$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{23}}{2}$

Karena $y=x$, maka nilai y sama dengan nilai x.

Titik potongnya adalah:
Titik 1: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{23}}{2}$, $y_1 = \frac{3 + \sqrt{23}}{2}$
Titik 2: $x_2 = \frac{3 - \sqrt{23}}{2}$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{23}}{2}$

Jadi, hubungan kedua lingkaran adalah berpotongan di dua titik. Persamaan tali busurnya adalah $y = x$, dan titik potongnya adalah $(\frac{3 + \sqrt{23}}{2}, \frac{3 + \sqrt{23}}{2})$ dan $(\frac{3 - \sqrt{23}}{2}, \frac{3 - \sqrt{23}}{2})$.