Diberikan f(x) = a8 x^8 + a7 x^7 + a6 x^6 + .... + a2 x^2 +

a1 + a3 + a5 + a7 = (f(1) - f(-1))/2

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa a1 + a3 + a5 + a7 = (f(1) - f(-1))/2, kita perlu mengevaluasi f(1) dan f(-1) dari polinomial yang diberikan.

f(x) = a8 x^8 + a7 x^7 + a6 x^6 + a5 x^5 + a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a

Ketika x = 1:
f(1) = a8(1)^8 + a7(1)^7 + a6(1)^6 + a5(1)^5 + a4(1)^4 + a3(1)^3 + a2(1)^2 + a1(1) + a
f(1) = a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a

Ketika x = -1:
f(-1) = a8(-1)^8 + a7(-1)^7 + a6(-1)^6 + a5(-1)^5 + a4(-1)^4 + a3(-1)^3 + a2(-1)^2 + a1(-1) + a
f(-1) = a8 - a7 + a6 - a5 + a4 - a3 + a2 - a1 + a

Sekarang, mari kita hitung f(1) - f(-1):
f(1) - f(-1) = (a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a) - (a8 - a7 + a6 - a5 + a4 - a3 + a2 - a1 + a)

Kita distribusikan tanda negatif:
f(1) - f(-1) = a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a - a8 + a7 - a6 + a5 - a4 + a3 - a2 + a1 - a

Kita lihat bahwa beberapa suku akan saling menghilangkan:
f(1) - f(-1) = (a8 - a8) + (a7 + a7) + (a6 - a6) + (a5 + a5) + (a4 - a4) + (a3 + a3) + (a2 - a2) + (a1 + a1) + (a - a)
f(1) - f(-1) = 0 + 2a7 + 0 + 2a5 + 0 + 2a3 + 0 + 2a1 + 0
f(1) - f(-1) = 2a7 + 2a5 + 2a3 + 2a1

Sekarang, kita membagi kedua sisi dengan 2:
(f(1) - f(-1))/2 = (2a7 + 2a5 + 2a3 + 2a1) / 2
(f(1) - f(-1))/2 = a7 + a5 + a3 + a1

Ini sama dengan ruas kanan dari persamaan yang ingin kita buktikan. Jadi, terbukti bahwa a1 + a3 + a5 + a7 = (f(1) - f(-1))/2.