H G P E F D C A B Jika panjang sisi kubus 4 cm,

2√6 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik F terhadap garis AC pada sebuah kubus, kita perlu memahami geometri kubus dan konsep jarak titik ke garis.

Misalkan kubus memiliki panjang sisi 's'. Dalam kasus ini, s = 4 cm.
Kubus memiliki titik-titik sudut. Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan titik A berada di (0, 0, 0).
Jika panjang sisi kubus adalah 4 cm, maka koordinat titik-titik sudut yang relevan bisa sebagai berikut:
A = (0, 0, 0)
B = (4, 0, 0)
C = (4, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
F = (4, 0, 4)
G = (4, 4, 4)
H = (0, 4, 4)

Kita ingin mencari jarak dari titik F ke garis AC.

Langkah 1: Tentukan vektor arah garis AC.
Titik A = (0, 0, 0)
Titik C = (4, 4, 0)
Vektor AC = C - A = (4 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0).

Langkah 2: Tentukan vektor dari titik A ke titik F.
Titik A = (0, 0, 0)
Titik F = (4, 0, 4)
Vektor AF = F - A = (4 - 0, 0 - 0, 4 - 0) = (4, 0, 4).

Langkah 3: Gunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang.
Jarak d dari titik P ke garis yang melalui titik Q dengan vektor arah v adalah:
d = || PQ x v || / || v ||

Dalam kasus kita:
P = F = (4, 0, 4)
Q = A = (0, 0, 0)
v = vektor AC = (4, 4, 0)

PQ = AF = (4, 0, 4)

Langkah 4: Hitung hasil perkalian silang (cross product) PQ x v.
PQ x v = (4, 0, 4) x (4, 4, 0)

PQ x v = |
  i    j    k  |
|  4   0    4  |
|  4   4    0  |

PQ x v = i * (0*0 - 4*4) - j * (4*0 - 4*4) + k * (4*4 - 0*4)
PQ x v = i * (0 - 16) - j * (0 - 16) + k * (16 - 0)
PQ x v = -16i + 16j + 16k
PQ x v = (-16, 16, 16)

Langkah 5: Hitung magnitudo (panjang) dari hasil perkalian silang.
|| PQ x v || = || (-16, 16, 16) ||
|| PQ x v || = √((-16)² + 16² + 16²)
|| PQ x v || = √(256 + 256 + 256)
|| PQ x v || = √(3 * 256)
|| PQ x v || = √3 * √256
|| PQ x v || = 16√3

Langkah 6: Hitung magnitudo (panjang) dari vektor arah garis AC.
|| v || = || AC || = || (4, 4, 0) ||
|| v || = √(4² + 4² + 0²)
|| v || = √(16 + 16 + 0)
|| v || = √32
|| v || = √(16 * 2)
|| v || = 4√2

Langkah 7: Hitung jaraknya.
d = || PQ x v || / || v ||
d = (16√3) / (4√2)
d = (16/4) * (√3 / √2)
d = 4 * √(3/2)
d = 4 * (√3 * √2) / (√2 * √2)
d = 4 * √6 / 2
d = 2√6

Jadi, jarak titik F terhadap garis AC adalah 2√6 cm.

Alternatif Metode Geometri:

Perhatikan bidang ABCD (alas kubus). Garis AC adalah diagonal alas.
Titik F berada di atas titik B.
Jarak F ke garis AC adalah jarak dari F ke bidang yang tegak lurus AC dan memuat F. Namun, ini terlalu rumit.

Mari kita perhatikan segitiga AFC. Namun, ini bukan segitiga siku-siku.

Perhatikan bidang BCFG. F adalah (4,0,4), A adalah (0,0,0), C adalah (4,4,0).

Kita bisa menggunakan proyeksi. Cari titik P pada garis AC sehingga FP tegak lurus AC.

Persamaan garis AC: r(t) = A + t * AC = (0, 0, 0) + t * (4, 4, 0) = (4t, 4t, 0).
Jadi, titik pada garis AC memiliki koordinat (4t, 4t, 0).

Misalkan P = (4t, 4t, 0) adalah titik pada garis AC.

FP = P - F = (4t - 4, 4t - 0, 0 - 4) = (4t - 4, 4t, -4).

Agar FP tegak lurus AC, hasil perkalian dot product FP dengan AC harus nol.
FP · AC = 0
(4t - 4, 4t, -4) · (4, 4, 0) = 0
(4t - 4)*4 + (4t)*4 + (-4)*0 = 0
16t - 16 + 16t + 0 = 0
32t - 16 = 0
32t = 16
t = 16/32
t = 1/2

Jadi, titik P pada garis AC yang terdekat dengan F adalah:
P = (4 * (1/2), 4 * (1/2), 0) = (2, 2, 0).

Sekarang, hitung jarak antara F dan P.
F = (4, 0, 4)
P = (2, 2, 0)

Jarak FP = √((4-2)² + (0-2)² + (4-0)²)
Jarak FP = √((2)² + (-2)² + (4)²)
Jarak FP = √(4 + 4 + 16)
Jarak FP = √24
Jarak FP = √(4 * 6)
Jarak FP = 2√6

Hasilnya konsisten dengan metode perkalian silang.