Diketahui 2log3=x dan 2log10=y. Nilai 6log120=...

(x + y + 2)/(x + 1)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma.
Diketahui:
$ ^{2}	ext{log}3 = x $
$ ^{2}	ext{log}10 = y $

Ditanya: $ ^{6}	ext{log}120 $

Kita perlu mengubah basis logaritma 120 dari basis 6 ke basis 2, karena informasi yang diberikan menggunakan basis 2.
Rumus perubahan basis: $ ^{a}	ext{log}b = rac{^{c}	ext{log}b}{^{c}	ext{log}a} $

Maka, $ ^{6}	ext{log}120 = rac{^{2}	ext{log}120}{^{2}	ext{log}6} $

Sekarang kita uraikan 120 dan 6 menjadi faktor-faktornya:
$120 = 12 	imes 10 = (3 	imes 4) 	imes 10 = 3 	imes 2^2 	imes 10$
$6 = 2 	imes 3$

Substitusikan uraian ini ke dalam rumus:
$ ^{2}	ext{log}120 = ^{2}	ext{log}(3 	imes 2^2 	imes 10) $
Menggunakan sifat $ ^{c}	ext{log}(a 	imes b) = ^{c}	ext{log}a + ^{c}	ext{log}b $ dan $ ^{c}	ext{log}a^n = n 	imes ^{c}	ext{log}a $: 
$ ^{2}	ext{log}120 = ^{2}	ext{log}3 + ^{2}	ext{log}(2^2) + ^{2}	ext{log}10 $
$ ^{2}	ext{log}120 = ^{2}	ext{log}3 + 2 	imes ^{2}	ext{log}2 + ^{2}	ext{log}10 $
Karena $ ^{2}	ext{log}2 = 1 $: 
$ ^{2}	ext{log}120 = ^{2}	ext{log}3 + 2(1) + ^{2}	ext{log}10 $
$ ^{2}	ext{log}120 = x + 2 + y $

Sekarang untuk penyebut:
$ ^{2}	ext{log}6 = ^{2}	ext{log}(2 	imes 3) $
$ ^{2}	ext{log}6 = ^{2}	ext{log}2 + ^{2}	ext{log}3 $
$ ^{2}	ext{log}6 = 1 + x $

Sekarang kita masukkan kembali ke rumus perubahan basis:
$ ^{6}	ext{log}120 = rac{^{2}	ext{log}120}{^{2}	ext{log}6} = rac{x + 2 + y}{1 + x} $

Jadi, nilai $ ^{6}	ext{log}120 $ adalah $ rac{x + y + 2}{x + 1} $.