Diketahui a, b, dan gamma merupakan sudut-sudut dalam

Gunakan sifat $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ dan identitas $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos(\theta)$ untuk membuktikan identitas tersebut.

Pembahasan

Untuk menunjukkan identitas $\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$, kita perlu menggunakan sifat-sifat sudut dalam segitiga dan identitas trigonometri.

Diketahui $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC. Ini berarti jumlah ketiga sudut tersebut adalah 180 derajat atau $\pi$ radian:
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} $$ 

Dari persamaan ini, kita dapat mengekspresikan jumlah dua sudut ($\alpha + \beta$) dalam bentuk sudut ketiga ($\gamma$):
$$ \alpha + \beta = 180^{\circ} - \gamma $$ 

Sekarang, kita bagi kedua sisi persamaan dengan 2:
$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^{\circ} - \gamma}{2} $$ 
$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\gamma}{2} $$ 

Kita ingin menunjukkan $\sin \frac{\alpha + \beta}{2}$. Mari kita substitusi hasil di atas ke dalam fungsi sinus:
$$ \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \left( 90^{\circ} - \frac{\gamma}{2} \right) $$ 

Sekarang, kita gunakan identitas trigonometri untuk sudut komplementer, yaitu $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos(\theta)$. Dalam kasus ini, $\theta = \frac{\gamma}{2}$.

Maka, kita dapatkan:
$$ \sin \left( 90^{\circ} - \frac{\gamma}{2} \right) = \cos \left( \frac{\gamma}{2} \right) $$ 

Oleh karena itu, kita telah menunjukkan bahwa:
$$ \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \cos \left( \frac{\gamma}{2} \right) $$ 

Ini membuktikan identitas yang diminta.