Diketahui B=[2 0 0 1] dan B+C=[2 1 -3 1] Jika A adalah

4

Pembahasan

Diketahui:
Matriks \(B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Matriks \(B + C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)
Matriks \(A\) berukuran \(2 \times 2\)
Persamaan \(AB + AC = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)

Ditanya: Determinan dari \(AB\) (yaitu \(|AB|\)).

Langkah-langkah penyelesaian:

1.  **Cari matriks C:**
    Dari \(B + C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), kita bisa mencari \(C\) dengan mengurangkan \(B\) dari \(B+C\):
    \(C = (B+C) - B\)
    \(C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-2 & 1-0 \\ -3-0 & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\)

2.  **Gunakan sifat distributif pada persamaan AB + AC:**
    \(AB + AC = A(B+C)\)
    Jadi, kita punya \(A(B+C) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\).

3.  **Hitung determinan dari A(B+C):**
    \(|A(B+C)| = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\)
    \(|A(B+C)| = (4 \times 1) - (2 \times -3) = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10\)

4.  **Gunakan sifat determinan |XY| = |X||Y|:**
    \(|A(B+C)| = |A| |B+C|\)
    Kita perlu menghitung \(|B+C|\):
    \(|B+C| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\)
    \(|B+C| = (2 \times 1) - (1 \times -3) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5\)

5.  **Cari |A|:**
    Kita tahu \(|A(B+C)| = 10\) dan \(|B+C| = 5\).
    Maka, \(|A| \times 5 = 10\)
    \(|A| = 10 / 5 = 2\)

6.  **Hitung determinan dari AB:**
    \(|AB| = |A| |B|\)
    Kita perlu menghitung \(|B|\):
    \(|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\)
    \(|B| = (2 \times 1) - (0 \times 0) = 2 - 0 = 2\)

7.  **Substitusikan nilai |A| dan |B|:**
    \(|AB| = |A| \times |B| = 2 \times 2 = 4\)

Jadi, determinan dari \(AB\) adalah 4.