Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan panjang rusuk

90 derajat

Pembahasan

Bidang empat beraturan D.ABC memiliki semua rusuk sama panjang, yaitu 6 cm. Ini berarti segitiga ABC, ABD, ACD, dan BCD adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm.

Untuk mencari sudut antara rusuk AD dan BC, kita perlu menemukan sudut antara dua garis bersilangan. Salah satu caranya adalah dengan menggeser salah satu garis sehingga berpotongan dengan garis lainnya.

Kita bisa memproyeksikan rusuk AD ke bidang alas ABC. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mencari sudut antara AD dan garis yang sejajar dengan BC dan memotong AD. 

Alternatifnya, kita bisa menggunakan vektor. Misalkan titik A=(0,0,0), B=(6,0,0), D=(3, 3√3, 0). Lalu C = (3, √3, 2√6).

Namun, cara geometris yang lebih sederhana adalah dengan memvisualisasikan bidang empat. Sudut antara AD dan BC adalah sudut antara AD dan sebuah garis yang sejajar BC. Kita bisa membayangkan garis yang melalui titik A dan sejajar dengan BC. 

Dalam bidang empat beraturan, setiap pasangan rusuk yang bersilangan membentuk sudut 90 derajat. Rusuk AD dan BC adalah dua rusuk yang bersilangan.

Untuk membuktikannya, kita bisa memisalkan titik-titik koordinatnya.
Misalkan A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(3, 3√3, 0).
Karena D.ABC beraturan, D berada di atas titik berat segitiga ABC.
Titik berat segitiga ABC = ((0+6+3)/3, (0+0+3√3)/3, 0) = (3, √3, 0).
Jarak dari titik berat ke setiap titik sudut segitiga alas adalah (2/3) * tinggi segitiga alas = (2/3) * (6√3/2) = 2√3.

Misalkan D = (3, √3, h).
Jarak AD = √((3-0)^2 + (√3-0)^2 + (h-0)^2) = √(9 + 3 + h^2) = √(12 + h^2).
Karena panjang rusuk AD = 6, maka 6 = √(12 + h^2) => 36 = 12 + h^2 => h^2 = 24 => h = √24 = 2√6.
Jadi, D = (3, √3, 2√6).

Sekarang kita cari vektor AD dan BC.
AD = D - A = (3, √3, 2√6) - (0, 0, 0) = (3, √3, 2√6)
BC = C - B = (3, 3√3, 0) - (6, 0, 0) = (-3, 3√3, 0)

cos θ = (AD · BC) / (|AD| |BC|)
AD · BC = (3)(-3) + (√3)(3√3) + (2√6)(0) = -9 + 9 + 0 = 0

Karena hasil perkalian dot productnya adalah 0, maka sudut antara AD dan BC adalah 90 derajat.