Diketahui f(x)=(1-cosx)/sinx, dengan sin x=/=0 dan f'

Nilai f'(π/4) adalah 2 - √2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi f(x) dan kemudian mengevaluasinya pada x = π/4.

Fungsi yang diberikan adalah: f(x) = (1 - cos x) / sin x

Kita dapat menggunakan aturan kuosien untuk mencari turunan f'(x). Aturan kuosien menyatakan bahwa jika f(x) = g(x) / h(x), maka f'(x) = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)] / [h(x)]².

Dalam kasus ini:
g(x) = 1 - cos x
h(x) = sin x

Turunan dari g(x) adalah g'(x) = d/dx (1 - cos x) = 0 - (-sin x) = sin x.
Turunan dari h(x) adalah h'(x) = d/dx (sin x) = cos x.

Sekarang, terapkan aturan kuosien:
f'(x) = [(sin x)(sin x) - (1 - cos x)(cos x)] / (sin x)²
f'(x) = [sin² x - (cos x - cos² x)] / sin² x
f'(x) = [sin² x - cos x + cos² x] / sin² x

Ingat identitas trigonometri dasar: sin² x + cos² x = 1.
Jadi, kita bisa menyederhanakan pembilang:
f'(x) = [1 - cos x] / sin² x

Sekarang kita perlu mengevaluasi f'(x) pada x = π/4.
Substitusikan x = π/4 ke dalam f'(x):
f'(π/4) = [1 - cos(π/4)] / sin²(π/4)

Kita tahu bahwa cos(π/4) = √2 / 2 dan sin(π/4) = √2 / 2.

Maka, sin²(π/4) = (√2 / 2)² = 2 / 4 = 1/2.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam f'(π/4):
f'(π/4) = [1 - (√2 / 2)] / (1/2)

Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
f'(π/4) = 2 * [1 - (√2 / 2)] / (2 * 1/2)
f'(π/4) = [2 - 2(√2 / 2)] / 1
f'(π/4) = 2 - √2

Jadi, nilai dari f'(π/4) adalah 2 - √2.