Diketahui f: x -> 3-x dengan {x | x e R} . Jika g(x)=1/f(x)

Grafik fungsi y=g(x) adalah hiperbola dengan asimtot vertikal di x=3 dan asimtot horizontal di y=0, memotong sumbu Y di (0, 1/3).

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = 3 - x, dengan domain {x | x ∈ R}.
Fungsi g(x) didefinisikan sebagai g(x) = 1 / f(x).
Kita perlu mencari grafik fungsi y = g(x).

Langkah-langkah:
1. Tentukan bentuk fungsi g(x):
   g(x) = 1 / (3 - x)

2. Tentukan domain dari g(x).
   Fungsi g(x) terdefinisi ketika penyebutnya tidak nol, yaitu:
   3 - x ≠ 0
   x ≠ 3
   Jadi, domain g(x) adalah {x | x ∈ R, x ≠ 3}.

3. Analisis sifat-sifat grafik g(x) = 1 / (3 - x):
   a. Asimtot Vertikal:
      Asimtot vertikal terjadi ketika penyebut mendekati nol. Dalam kasus ini, penyebut (3 - x) mendekati nol ketika x mendekati 3.
      Jadi, ada asimtot vertikal pada x = 3.

   b. Asimtot Horizontal:
      Untuk mencari asimtot horizontal, kita lihat perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga (∞) atau minus tak hingga (-∞).
      lim (x→∞) g(x) = lim (x→∞) 1 / (3 - x)
      Saat x menjadi sangat besar, (3 - x) menjadi sangat besar negatif. Maka, 1 / (3 - x) mendekati 0.
      lim (x→-∞) g(x) = lim (x→-∞) 1 / (3 - x)
      Saat x menjadi sangat besar negatif, (3 - x) menjadi sangat besar positif. Maka, 1 / (3 - x) mendekati 0.
      Jadi, ada asimtot horizontal pada y = 0 (sumbu X).

   c. Titik Potong Sumbu Y:
      Titik potong sumbu Y terjadi ketika x = 0.
      g(0) = 1 / (3 - 0) = 1/3
      Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 1/3).

   d. Titik Potong Sumbu X:
      Titik potong sumbu X terjadi ketika g(x) = 0.
      1 / (3 - x) = 0
      Persamaan ini tidak memiliki solusi karena pembilangnya adalah konstanta (1) yang tidak pernah nol.
      Jadi, grafik tidak memotong sumbu X.

   e. Perilaku Fungsi:
      - Ketika x < 3 (mendekati 3 dari kiri): (3 - x) adalah bilangan positif kecil. Maka, g(x) positif dan besar (mendekati +∞).
      - Ketika x > 3 (mendekati 3 dari kanan): (3 - x) adalah bilangan negatif kecil. Maka, g(x) negatif dan besar (mendekati -∞).

Berdasarkan analisis ini, grafik fungsi y = g(x) = 1 / (3 - x) adalah sebuah hiperbola dengan asimtot vertikal di x = 3 dan asimtot horizontal di y = 0. Grafik ini berada di kuadran I dan III relatif terhadap pusat asimtot (3, 0) jika kita menganggapnya sebagai transformasi dari y = -1/x.