Diketahui f(x)=3x^3-(2a-b)x^2-2x+3b+5 habis dibagi oleh

Terdapat inkonsistensi dalam soal yang diberikan, sehingga tidak dapat ditentukan nilai b.

Pembahasan

Diketahui fungsi polinomial f(x) = 3x³ - (2a - b)x² - 2x + 3b + 5. Fungsi ini habis dibagi oleh (x - 1), yang berarti f(1) = 0 berdasarkan teorema sisa. Substitusikan x = 1 ke dalam f(x):
f(1) = 3(1)³ - (2a - b)(1)² - 2(1) + 3b + 5 = 0
3 - (2a - b) - 2 + 3b + 5 = 0
3 - 2a + b - 2 + 3b + 5 = 0
-2a + 4b + 6 = 0
-a + 2b + 3 = 0  (Persamaan 1)

Selanjutnya, kurva y = f(x) bersinggungan dengan garis x + y = -2 di titik (4, -2). Ini berarti gradien garis singgung f(x) di x = 4 sama dengan gradien garis x + y = -2. Gradien garis x + y = -2 adalah -1 (karena y = -x - 2).

Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 9x² - 2(2a - b)x - 2. 
Karena bersinggungan di x = 4, maka f'(4) = -1.
f'(4) = 9(4)² - 2(2a - b)(4) - 2 = -1
9(16) - 8(2a - b) - 2 = -1
144 - 16a + 8b - 2 = -1
142 - 16a + 8b = -1
-16a + 8b = -143 (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b):
1) -a + 2b = -3
2) -16a + 8b = -143

Dari Persamaan 1, kita bisa mendapatkan a = 2b + 3. Substitusikan nilai a ini ke Persamaan 2:
-16(2b + 3) + 8b = -143
-32b - 48 + 8b = -143
-24b = -143 + 48
-24b = -95
b = -95 / -24
b = 95/24

Mari kita cek kembali perhitungan.
Ada kesalahan dalam soal atau perhitungan. Mari kita ulangi.
f(1) = 3 - (2a - b) - 2 + 3b + 5 = 3 - 2a + b - 2 + 3b + 5 = -2a + 4b + 6 = 0 => -a + 2b + 3 = 0 => a = 2b + 3.

Titik (4, -2) terletak pada kurva y = f(x), jadi f(4) = -2.
f(4) = 3(4)³ - (2a - b)(4)² - 2(4) + 3b + 5 = -2
3(64) - (2a - b)(16) - 8 + 3b + 5 = -2
192 - 32a + 16b - 8 + 3b + 5 = -2
189 - 32a + 19b = -2
-32a + 19b = -191 (Persamaan 3)

Substitusikan a = 2b + 3 ke Persamaan 3:
-32(2b + 3) + 19b = -191
-64b - 96 + 19b = -191
-45b = -191 + 96
-45b = -95
b = -95 / -45
b = 95/45
b = 19/9

Sekarang gunakan f'(4) = -1.
f'(x) = 9x² - 2(2a - b)x - 2
f'(4) = 9(4)² - 2(2a - b)(4) - 2 = -1
144 - 8(2a - b) - 2 = -1
142 - 16a + 8b = -1
-16a + 8b = -143

Substitusikan a = 2b + 3:
-16(2b + 3) + 8b = -143
-32b - 48 + 8b = -143
-24b = -95
b = 95/24

Terdapat inkonsistensi antara kondisi titik singgung dan kondisi habis dibagi. Kemungkinan ada kesalahan ketik pada soal. Jika kita mengabaikan kondisi f(4) = -2 dan hanya menggunakan kondisi habis dibagi dan gradien, kita dapat mencari nilai b. Namun, soal meminta nilai b dari kedua kondisi tersebut.