Tentukan dy/dx pada setiap ekspresi berikut.

dy/dx = -(2√x - 1) sin(√(x - √x)) / (4√x √(x - √x)).

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx dari y = cos(√(x - √x)), kita akan menggunakan aturan berantai (chain rule) secara berulang.

Misalkan u = √(x - √x) dan y = cos(u).
Maka, dy/du = -sin(u).

Selanjutnya, kita perlu mencari du/dx. Misalkan v = x - √x. Maka u = √v = v^(1/2).
Jadi, du/dv = (1/2)v^(-1/2) = 1 / (2√v) = 1 / (2√(x - √x)).

Sekarang kita perlu mencari dv/dx. dv/dx = d/dx (x - √x).
Turunan dari x adalah 1.
Turunan dari √x = x^(1/2) adalah (1/2)x^(-1/2) = 1 / (2√x).
Maka, dv/dx = 1 - 1 / (2√x).

Sekarang kita dapat menggabungkan semuanya menggunakan aturan berantai:
dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx
dy/dx = (-sin(u)) * (1 / (2√(x - √x))) * (1 - 1 / (2√x))

Ganti kembali u = √(x - √x):
dy/dx = -sin(√(x - √x)) * (1 / (2√(x - √x))) * (1 - 1 / (2√x))

Kita bisa menyederhanakan bagian (1 - 1 / (2√x)):
1 - 1 / (2√x) = (2√x - 1) / (2√x)

Maka, dy/dx = -sin(√(x - √x)) * (1 / (2√(x - √x))) * ((2√x - 1) / (2√x))

dy/dx = -(2√x - 1) sin(√(x - √x)) / (4√x √(x - √x))