Diketahui f(x)=akar(1+x). Nilai lim h -> 0

5/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena jika kita substitusikan langsung \(h=0\), kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\).

Diketahui fungsi \(f(x) = \sqrt{1+x}\).
Kita perlu mencari nilai dari \(\lim_{h 	o 0} \frac{f(3+2h^2) - f(3-3h^2)}{h^2}\).

Ini adalah bentuk limit yang terkait dengan definisi turunan. Ingat definisi turunan: \(f'(a) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\).
Namun, bentuk soal ini sedikit berbeda karena melibatkan \(f(a+kh^n)\) dan pembagian dengan \(h^n\).

Mari kita gunakan aturan L'Hopital. Pertama, kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut terhadap \(h\).

Turunan dari pembilang \(f(3+2h^2) - f(3-3h^2)\) terhadap \(h\):
Misalkan \(u = 3+2h^2\), maka \(\frac{du}{dh} = 4h\).
Misalkan \(v = 3-3h^2\), maka \(\frac{dv}{dh} = -6h\).

Turunan \(f(u)\) terhadap \(h\) adalah \(f'(u) \times \frac{du}{dh}\).
Turunan \(f(v)\) terhadap \(h\) adalah \(f'(v) \times \frac{dv}{dh}\).

Jadi, turunan pembilang adalah: \(f'(3+2h^2) 	imes 4h - f'(3-3h^2) 	imes (-6h)\) = \(4h f'(3+2h^2) + 6h f'(3-3h^2)\).

Turunan dari penyebut \(h^2\) terhadap \(h\) adalah \(2h\).

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:
\(\lim_{h 	o 0} \frac{4h f'(3+2h^2) + 6h f'(3-3h^2)}{2h}\)
Kita bisa membatalkan \(h\) dari pembilang dan penyebut:
\(\lim_{h 	o 0} \frac{4 f'(3+2h^2) + 6 f'(3-3h^2)}{2}\)

Sekarang, kita perlu mencari \(f'(x)\). Jika \(f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}\), maka menggunakan aturan rantai:
\(f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} 	imes 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\)

Sekarang substitusikan \(f'(x)\) ke dalam limit:
\(\lim_{h 	o 0} \frac{4 \left(\frac{1}{2\sqrt{1+(3+2h^2)}}\right) + 6 \left(\frac{1}{2\sqrt{1+(3-3h^2)}}\right)}{2}\)
\(\lim_{h 	o 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{4+2h^2}} + \frac{3}{\sqrt{4-3h^2}}}{2}\)

Sekarang substitusikan \(h=0\):
\(\frac{\frac{2}{\sqrt{4+0}} + \frac{3}{\sqrt{4-0}}}{2}\)
\(\frac{\frac{2}{\sqrt{4}} + \frac{3}{\sqrt{4}}}{2}\)
\(\frac{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}{2}\)
\(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2}\)
\(\frac{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}{2}\)
\(\frac{\frac{5}{2}}{2}\)
\(\frac{5}{4}\)

Alternatif lain: Perhatikan bahwa limit tersebut dapat ditulis ulang sebagai:
\(\lim_{h 	o 0} \left( \frac{f(3+2h^2) - f(3)}{h^2} 	imes 2 + \frac{f(3) - f(3-3h^2)}{h^2} 	imes 3 \right)\)
Misalkan \(k = 2h^2\) dan \(m = -3h^2\), maka \(h^2 = k/2\) dan \(h^2 = m/(-3)\).
Ini mengarah pada:
\(2 \lim_{k 	o 0} \frac{f(3+k) - f(3)}{k/2} + 3 \lim_{m 	o 0} \frac{f(3) - f(3+m)}{m/(-3)}\) 
\(4 \lim_{k 	o 0} \frac{f(3+k) - f(3)}{k} + (-9) \lim_{m 	o 0} \frac{f(3+m) - f(3)}{m}\)
\(4 f'(3) - 9 f'(3)\)
\(-5 f'(3)\)

Kita punya \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\).
 Maka \(f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}\).

Hasilnya adalah \(-5 \times \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}\).

Ada kesalahan dalam penalaran kedua. Mari kita perbaiki pendekatan pertama.

Kembali ke \(\lim_{h 	o 0} \frac{4 f'(3+2h^2) + 6 f'(3-3h^2)}{2}\).
Substitusi \(h=0\) menghasilkan:
\(\frac{4 f'(3) + 6 f'(3)}{2} = \frac{10 f'(3)}{2} = 5 f'(3)\).

Dengan \(f'(3) = \frac{1}{4}\), maka hasilnya adalah \(5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\).

Jadi, nilai \(\lim_{h 	o 0} \frac{f(3+2h^2) - f(3-3h^2)}{h^2}\) adalah \(\frac{5}{4}\).