Diketahui fungsi f(x)=(2-x)/(x+1), x=/=-1.a. Gambarlah

Grafik fungsi memiliki asimtot tegak di x=-1 dan asimtot datar di y=-1, memotong sumbu y di (0,2) dan sumbu x di (2,0). Limit x→-1 f(x) tidak ada, limit x→2 f(x) adalah 0. Limit x→±∞ f(x) adalah -1.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik fungsi f(x) = (2-x)/(x+1), kita perlu mencari beberapa titik penting:

1.  **Asimtot Tegak:** Fungsi tidak terdefinisi ketika penyebutnya nol, yaitu x + 1 = 0, sehingga asimtot tegaknya adalah x = -1.
2.  **Asimtot Datar:** Kita lihat perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga. lim x→∞ (2-x)/(x+1) = lim x→∞ (-1)/1 = -1. Jadi, asimtot datarnya adalah y = -1.
3.  **Perpotongan Sumbu y:** Saat x = 0, f(0) = (2-0)/(0+1) = 2. Jadi, grafik memotong sumbu y di titik (0, 2).
4.  **Perpotongan Sumbu x:** Fungsi bernilai nol ketika pembilangnya nol, yaitu 2 - x = 0, sehingga x = 2. Jadi, grafik memotong sumbu x di titik (2, 0).

Dengan informasi ini, kita bisa mulai menggambar grafik. Grafik akan mendekati asimtot x = -1 dan y = -1 tanpa menyentuhnya.

b. Menentukan nilai limit:
*   lim x→-1 f(x) = lim x→-1 (2-x)/(x+1)
    Ketika x mendekati -1, pembilang mendekati 2 - (-1) = 3, dan penyebut mendekati 0. Karena penyebut bisa mendekati 0 dari sisi positif (jika x > -1) atau sisi negatif (jika x < -1), nilai limitnya adalah tak terhingga (±∞) tergantung dari arah pendekatan.
    Jika x → -1⁺, x+1 → 0⁺, maka lim x→-1⁺ (2-x)/(x+1) = 3/0⁺ = +∞
    Jika x → -1⁻, x+1 → 0⁻, maka lim x→-1⁻ (2-x)/(x+1) = 3/0⁻ = -∞
    Karena limit dari sisi kiri dan kanan berbeda, maka lim x→-1 f(x) tidak ada.

*   lim x→2 f(x) = lim x→2 (2-x)/(x+1) = (2-2)/(2+1) = 0/3 = 0.

c. Menentukan nilai limit mendekati tak hingga:
*   lim x→∞ f(x) = lim x→∞ (2-x)/(x+1)
    Untuk x yang sangat besar, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
    lim x→∞ (2/x - 1)/(1 + 1/x) = (0 - 1)/(1 + 0) = -1.

*   lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (2-x)/(x+1)
    Sama seperti di atas, kita bisa membagi dengan x:
    lim x→-∞ (2/x - 1)/(1 + 1/x) = (0 - 1)/(1 + 0) = -1.