Carilah limit berikut. limit x -> 0 (2sin5x)/(tan2x)

Limitnya adalah 5.

Pembahasan

Untuk mencari limit fungsi $rac{2 	ext{sin}(5x)}{	ext{tan}(2x)}$ ketika $x$ mendekati 0, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. Salah satu cara adalah dengan mengubah $	ext{tan}(2x)$ menjadi $rac{	ext{sin}(2x)}{	ext{cos}(2x)}$.

Limit $x 	o 0 rac{2 	ext{sin}(5x)}{	ext{tan}(2x)} = 	ext{Limit } x 	o 0 rac{2 	ext{sin}(5x)}{rac{	ext{sin}(2x)}{	ext{cos}(2x)}}$
$= 	ext{Limit } x 	o 0 rac{2 	ext{sin}(5x) 	ext{cos}(2x)}{	ext{sin}(2x)}$

Kita tahu bahwa $	ext{Limit } 	heta 	o 0 rac{	ext{sin}(a	heta)}{	ext{sin}(b	heta)} = rac{a}{b}$ dan $	ext{Limit } 	heta 	o 0 	ext{cos}(b	heta) = 1$.

Menggunakan sifat ini, kita dapat mengalikan dan membagi dengan $5x$ dan $2x$ untuk mendapatkan bentuk standar $rac{	ext{sin}(u)}{u}$.

$= 	ext{Limit } x 	o 0 2 rac{	ext{sin}(5x)}{5x} 	imes 5x 	imes rac{2x}{	ext{sin}(2x)} 	imes rac{1}{2x} 	imes 	ext{cos}(2x)$
$= 	ext{Limit } x 	o 0 2 	imes rac{	ext{sin}(5x)}{5x} 	imes rac{2x}{	ext{sin}(2x)} 	imes rac{5x}{2x} 	imes 	ext{cos}(2x)$

Karena $	ext{Limit } u 	o 0 rac{	ext{sin}(u)}{u} = 1$, maka:
$= 2 	imes 1 	imes 1 	imes rac{5}{2} 	imes 1$
$= 2 	imes rac{5}{2}$
$= 5$

Jadi, limit dari fungsi tersebut adalah 5.